高等代数习题课指导讲义

变子空间等概念的理解,把握线性变换化简的原理及其基本方法。

基础提要 略述(类似习题课一的处理) 课堂练习

1 设a,b,c∈C,令

?bca??cab??abc?????A?cab,B?abc,C??bca?. ?abc??bca??cab???????证明,A,B,C彼此相似;且若BC=CB,则A,B,C的特征值至少有两个等于零.

2 设A是一个复n阶矩阵.证明: 1)存在复n阶可逆矩阵T,使得

??1b12?b1n??0b?b??1222n?TAT??.

??????0b?b?n2nn??2) A相似于一个上三角矩阵.

?,?n是A的全部特征根(重根按重数计3 设A是一个复n阶矩阵,?1,?2,算).证明:

?,f(?n)是f(A)1)若f(x)是C上任意一个次数大于零的多项式,则f(?1),f(?2),的全部特征根.

?111?12,?,n,2)若A可逆,则?i?0,i?1,并且?1 ,???,??2,n是A的全部特征根.

4 用Hamilton?Cayley定理证明:若n阶阵A的所有不同的特征值是

?1,?2,?,?s,它们的重数分别是k1,k2,?,ks,则?(A-?iIn)i?1ski?0.

5 数域F上n维向量空间V的一个线性变换?叫做一个对合变换,若?2?1V.设?是V的一个对合变换,证明:

1)?的特征值只能是?1;

2)V=V1?V-1,这里V1是?的属于特征值1的特征子空间,V-1是?的属于特征值-1的特征子空间.

6 数域F上n维向量空间V的一个线性变换? 叫做幂零的,若存在一个自然数m,使?m?0.证明:

1)?是幂零变换当且仅当f?(?)=?n;

2)若一个幂零变换?可以对角化,则? 一定是零变换.

?,?t是?7 设?是数域F上n维向量空间V的一个可对角化的线性变换.令?1,?,?t,使得 的全部不同特征值.证明,存在V的线性变换?1,?2,1)???1?1??2?2????t?t; 2)?1??2????t?1V;

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2,?,t; 3)?i?j?0,若i?j; 4)?i2??i,i?1,2,?,t. 5)?i(V)?V?i,V?i是?的属于特征值?i的特征子空间,i?1,8 设V是复数域C上一个n维向量空间,?,?是V的线性变换,且?? =??. 证明: 1)? 的每一特征子空间都在?之下不变;2)?与?在V中有一公共特征向量.

?,?n下的矩阵是一9 设V是复数域上的n维向量空间,??EndV在基?1,?2,Jordan块,即为?In+??00?之矩阵.证明:

??In?10?1)V中包含?1的? -子空间只有V自身; 2)V中任一非零? -子空间都包含?n;

3)V不能分解成两个非平凡的? -子空间的直和.

课外建议 结合练习讲评提出相应的补缺、复习建议 习题课11 矩阵相似问题(2学时)

教学目的 通过教学实践,增进学生对行列式因子、不变因子、初等因子、最小多项式等概念及处理矩阵相似方法的理解,把握矩阵相似的Jordan标准形、有理标准形的求解及其对矩阵相似化简的应用。

基础提要 略述(类似习题课一的处理)。

1 设A,B∈Mn(Q),F为数域.证明,存在Q上的可逆阵P,使B=P1AP?存在

F上的可逆阵T,使B=T1AT.

2 证明,n阶矩阵A与其转置矩阵A?相似.

3 设A为n 阶矩阵,f (?)=?2-8?+15,g(?)=?2-4?+3,且f(A)=0,g (A)=0,求A的最小多项式.

4 两个n 阶矩阵的特征多项式相同,它们的最小多项式是否也相同? 5 设A?M3(C) .1)若A是幂零矩阵,求A的一切Jordan标准形; 2)若A是幂等矩阵,求A的一切Jordan标准形. 3)若A是对合矩阵,求A的一切Jordan标准形. 4) 设A任意,求A的一切Jordan标准形.

6 设A为n阶非零的幂零矩阵,证明A不能相似于对角矩阵.

7 设A为复n 阶矩阵.证明,A的最小多项式mA (?)无重因式的充分且必要条件是?In-A的初等因子全是一次式.

8 设A?Mn(C),则有n阶复对称矩阵M1,M2,其中M1可逆,使得A=M1M2.

9 设A为复n 阶矩阵.证明,A可表为一幂零矩阵N与一其初等因子由一次式构成的矩阵之和.

课外建议 结合练习讲评提出相应补缺、复习建议。

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习题课12 Euelid空间的概念与基本结构问题(2学时)

教学目的 通过2学时的习题课教学实践,增进学生对实向量空间度量的理解,把握标准正交基的求解、应用及正交补定理的证明与应用。

基础提要 略述(类似习题课一的处理)。 课堂练习:

1 证明,在一个Euclid空间中,对于任意向量α,β,以下等式成立: 1)|α+β|2+|α-β|2=2|α|2+2|β|2;2)?α,β?=

11|α+β|2-|α-β|2. 44在解析几何里,等式1)的几何意义是什么?

2 设α1,α2,…,αn是Euclid空间的n个向量.行列式

G(α1,…,αn)=

?1,?1?2,?1?1,?2??1,?n?2,?2??2,?n????????????????n,?1?n,?2??n,?n

叫做α1,…,αn的Gram行列式.证明,G(α1,…,αn)=0,必要且只要α1,…,αn线性相关.

3 设α,β是Euclid空间中的两个线性无关的向量,满足以下条件:

2?,?2?,?和都是≤0的整数.

?,??,?证明,α与β的夹角只可能是

?2?3?5?. ,,或

23464 设V是一个n维Euclid空间,α1,…,αn是V的一个基.设c1,…,cn是

任意给定的一组实数.证明,V中存在唯一的一个向量α,使得

〈α,αj〉=cj,j=1,2,…,n.

5 证明:1)上三角的正交矩阵必为对角矩阵,且对角线上的元素为1或-1. 2)若A是一个n阶实矩阵,且|A|≠0,则A可以分解成A=QR,其中Q是正交矩阵,R是一个正对角的上三角形矩阵;并且这个分解是唯一的.

3)若A是n阶正定矩阵,则存在一上三角形矩阵T,使A=T?T.

6 在R2中指定内积为〈α,β〉=x1y1+2x2y2.其中α=(x1,x2),β=(y1,y2).把这个Euclid空间记作V.找出V到带有标准内积的Euclid空间R2的一个同构映射.

7 证明,实系数线性方程组?aijxj?bi,i=1,2,…,n,有解的充分且必要 条件是向量β=(b1,b2,…,bn)∈R与齐次线性方程组

j?1nn?ajixjj?1n?0,i=1,2,…,n,

的解空间正交.

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8 设W是Euclid空间V的一个有限维子空间,用?W表示V在W上的正交投影变换.证明,V在W?上的正交投影变换存在,且等于1V-?W .

9 设W是空间V的一个有限维子空间,α1,…,αm是W的一个正交基.证明,对于α∈V,有

m?W(?)???,?i?i2i?1?i.

课外建议 结合练习讲评提出相应的补缺、复习建议。 习题课13 Euclid空间的正交变换与对称变换(2学时)

教学目的 通过2学时的教学实践,增进学生对对称变换(对称矩阵)结构与正交变换概念的理解,提高学生分析问题和解决问题的能力。

基础提要 略述(类似习题课一的处理), 课堂练习

1 设A是n阶实矩阵.证明,存在正交矩阵U,使U ?AU为三角矩阵的充分且必要条件是A的特征根全为实数.

2 设A,B都是实对称矩阵.证明,存在正交矩阵U,使U ?AU=B的充分且必要条件是A,B有相同的特征值.

3 设A是n阶实对称矩阵,且A2=In.证明,存在正交矩阵U,使得

0??IU?1AU??r?. 0In?r???,?n是A的特征值,4 设f (x1,x2,…,xn)= X ?AX是一个实二次型,?1,?2,且?1≤?2≤…≤?n .证明对任一X∈R n,有

?1 X ?X≤X ?AX≤?n X ?X.

5 设A,B是两个n阶实对称矩阵,且B是正定矩阵.证明,存在一个n阶实可逆矩阵U,使U ?AU与U ?BU同时为对角矩阵.

6 设V是n维Euclid空间.证明,V的正交变换?若有特征值,则它的特征值必为1或-1.

7 证明,在Euclid空间中,第二类正交变换一定以-1作为它的一个特征值. 8 设{α1,α2 ,…,αn}和{β1,β2 ,…,βn}是n维Euclid空间V的两个标准正交基.证明:

1)存在V的一个正交变换σ,使σ(αi)=βi,i=1,2,…,n.

2)若V的一个正交变换τ,使得τ(α1)= β1,则τ(α2),…,τ(αn)所生成的子空间与由β2,…,βn所生成的子空间重合.

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课外建议 结合练习讲评提出相应的补缺、复习建议。 习题课14 对偶空间与双线性函数(2学时)

教学目的 通过教学实践,增进学生对对偶空间、双线性函数的概念及其基本特类的认识,初步理解一般向量空间的度量方法。

基础提要 略述(类似习题课一的处理) 课堂练习:

1 设V是数域F上向量空间.在V *中定义乘法运算如下:

( f g )(α)=f(α)g(α),?α∈V.

证明,若f g=0,则f =0或g=0.

2 设? 是数域F上n维向量空间V的一个线性变换.证明: 1)对于f ∈V*,有f?∈V *;

2)定义V*到自身的一个映射?*:f ?f?,则?*是V*上的线性变换;

3)设α1,…,αn是V的一个基,f1,…,fn是它的对偶基,并且?在α1,…,αn下的矩阵为A.则?*在f1,…,fn下的矩阵为A?.

3 设V是数域F上的向量空间,f1,…,fs∈V*,证明:

1)W={α∈V | fi(α)=0,i=1,…,s}是V的一个子空间,叫做线性函数f1,…,fs的零化子空间;

2)若V是有限维的,则V的任一子空间都是某些线性函数的零化子空间. 4 证明,Mn(F)上的双线性函数f (A,B)=TrAB是非退化的.

5 设V是复数域上的n维向量空间,n≥2,并且f是V上的一个对称双线性函数.证明:

1)V中有非零向量α,使f(α,α)=0;

2)若f 是非退化的,则必有线性无关的向量α,β,使得f(α,β)=1,f(α,α)=f (β,

β)=0.

6 设f 是F上向量空间V的双线性函数.证明,f 是反对称的充分且必要条件为对任意α∈V,都有f (α,α)=0.

7 设(V,f )是数域F上的有限维正则的正交空间.σ是V上的一个正交变换.证明,若V的子空间W是σ的不变子空间,则W?也是σ-空间.

?0Ir?8 设A=?.证明,B是辛矩阵的充分且必要条件为B??A(B?1)?A ???Ir0?课外建议 结合练习讲评提出相应的补缺、复习建议。

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