江苏省灌云县陡沟中学高中数学 1.2余弦定理（第1课时）导学案 苏教版
一、学习目标：
1. 掌握余弦定理及其证明方法； 2. 初步掌握余弦定理的应用；
3. 培养学生推理探索数学规律和归纳总结的思维能力． 二、学习重点：
余弦定理及其应用； 三、学习难点：
用解析法证明余弦定理
四、学习过程（根据学科特点选择性灵活运用） ●自主质疑 一、问题情境 在上节中，我们通过等式BC?BA?AC的两边与AD（AD为?ABC中BC边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理． abcsinA?sinB?sinC． 探索1 还有其他途径将向量等式BC?BA?AC数量化吗？ ●合作探究 向量的平方是向量数量化的一种手段． A 因为BC?BA?AC（如图1），所以 BC?BC?（BA?AC）（?BA?AC） ?BA2?2AC?BA?AC2 B 图1 C ?BA2?2AC?BAcos(180??A)?AC2?c2?2cbcosA?b2 即 a2?b2?c2?2bccosA， 同理可得 b2?a2?c2?2accosB， c2?a2?B2?2abcosC． 上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．引出课题——余弦定理． ●交流展示
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对任意三角形，有余弦定理： a2?b2?c2?2bccosA， b2?a2?c2?2accosB， c2?a2?b2?2abcosC． 探索2：回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理． 师生共同活动，探索证明过程．经过讨论，可归纳出如下方法． 方法一：如图2建立直角坐标系，则A(0,0),B(ccosA,csinA),C(b,0)． 所以a2??ccosA?b?2??csinA?2?c2cos2A?c2sin2A?2bccosA?y b2 ?b2?c2?2bccosA． B 同理可证：b2?a2?c2?2accosB， C A x c2?a2?b2?2abcosC． 方法二：若A是锐角，如图3，由B作BD?AC，垂足为D，则AD图?2 ccosA． B C A D 图3 所以， a2?DC2?BD2?(AC?AD)2?BD2?AC2?AD2?2AC?AD?BD2 ?AC2?(AD2?BD2)-2AC?AD?b2?c2?2bccosA， 即a2?b2?c2?2bccosA， 类似地，可以证明当A是钝角时，结论也成立，而当A是直角时，结论显然成立． 同理可证 b2?a2?c2?2accosB，c2?a2?b2?2abcosC．
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方法三：由正弦定理，得a?2RsinA?2Rsin(B?C)． 所以 a2?4R2sin2(B?C)?4R2(sin2Bcos2C?cos2Bsin2C?2sinBsinCcosBcosC) ?4R2[sin2B(1?sin2C)?(1?sin2B)sin2C?2sinBsinCcosBcosC] ?4R2[sin2B?sin2C?2sinBsinCcos(B?C)] ?4R2sin2B?4R2sin2C?2(2RsinB)(2RsinC)cosA ?b2?c2?2bccosA． 同理可证 b2?a2?c2?2accosB，c2?a2?b2?2abcosC． 余弦定理也可以写成如下形式： A?b2?c2?a2cos2bc， c2?a2?b2cosB?2ca， C?a2?b2?c2cos2ab． 探索3 利用余弦定理可以解决斜三角形中的哪些类型问题？ 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
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