12-4、图示梁许用应力[?]=160MPa，试求：（1）按正应力强度条件选择圆形和矩形两种截面尺寸；（2）比较两种截面的Wz/A，并说明哪种截面好。
3解：（1）圆形：W?πd?M
z32[??b15kN/md2mz2bzd?332M?78 mm π???2矩形：W?b?(2b)?M，b?41 mm, h?82 mm
z6[??32Wπd/32z（2）圆形：， 矩形：Wz?2b/3?13.67所以矩形截面较好。 ??9.75Aπd2/4A(2b)2
12-5、截面为工字型钢的简支梁，工字钢型号为No.16，在跨中承受集中载荷F的作用，在距中点250 mm处梁的下沿点D，装置了一应变计，梁受力后，测得点D的应变为4.0?10?4，已知钢材的弹性模量为E?210 GPa，试求载荷F。
解：根据单向拉伸时的胡克定律，点D的正应力为
CA750z250D750BF??E??210?109?4.0?10?4?84 MPa
根据弯曲正应力公式??M，
Wz查表知No.16工字钢的Wz?141 cm3，因此 11.84kN?m M??Wz?84?106?141?10?6?11.42 kN?m由截面法求出截面D的弯矩M与载荷F的关系M?Fl
6由此得F?6M47.38kN 6?11.42?103??45.68 kNl1.512-6、T形截面外伸梁受载如图示，设截面对中性轴的惯性矩Iz?2.9?10?5 m4。试求梁内的最大拉应力?t?和最大压应力?c?。 解：弯矩如图
M?12 kN?m的截面上
34kN20kNC53.2z200??max12?103?53.2?10?3??22 MPa2.9?10?51m1m0.5m??max?12?103?(200?53.2)?10?3?60.7 MPa 2.9?10?5M12kN?mx10kN?mM??10 kN?m的截面上
?? ?max?50.6 MPa, ?max?18.3MPa12.3 MPa
36
12-7 选择题 （1）矩形截面的外伸梁受载情况如图。在x?a的横截面上，点A处切应力?A为（ D ） (A) 3F； (B) ?3F； F4bh4bhAxOh(C) 4F； (D) 0。 b3bhaaa （2）对于矩形截面梁，在横力载荷作用下以下结论错误的是（ D ） (A) 出现最大正应力的点上，切应力必为零； (B) 出现最大切应力的点上，正应力必为零； (C) 最大正应力的点和最大切应力的点不一定在同一截面上； (D) 梁上不可能出现这样的截面，即该截面上最大正应力和最大切应力均为零。 （3）图示梁的材料为铸铁，截面形式有4种如图，最佳形式为（D ） q (A)(B)(C)(D) （4）等强度梁有以下4种定义，正确答案是（D ） （A）各横截面弯矩相等； (B) 各横截面正应力均相等； (C) 各横截面切应力相等； (D) 各横截面最大正应力相等。 （5）对于相同的横截面积，同一梁采用（ B ）截面，其强度最高。 (A)(B)(C)(D)（6）图示载荷，在支座的四种布置方案中，从强度考虑，最佳方案为（ D ）。
F/3F/3/3q=F/l F/3F/3FF/3q=F/l
l/4l/4l/4l/4ll/4l (a)/4l/4l/4(b)l(a)Fq=F(b)/l Fq=F/l l/2l/2l/53l/5l/5 l/2(c)l/2l/5(d)3l/5l/5 (c)(d)
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12-8、一矩形截面简支梁h?200 mm, b?100 mm, F?6 kN，试求在集中力F偏左截面上点A，B处的
?A 和 ?B，并求?max。
??解：F?2F?4 kN
9FSS3?b??0.225 MPa8A3F?max?S?0.3 MPa2A
12-9、图示梁，已知l、b、h及梁材料的[?]， 当?max?[?]时，试求?max。 解：该梁的剪力图和弯矩图如图所示， FSSz, ?a?0bIzFh1m2mAbzh/4Bb/4yqM =ql /2eh2l/22l/2b?max?6Mmax3ql4bh[?]?[?], Mmax?, q?2bh89l22FSxM3ql /82FSmax?ql?
3F4bh[?]2h[?] , ?max?Smax?9l2A3l2qlql /82x12-10简支木梁如图，受移动载荷F?40 kN作用。已知许用应力[????? MPa，许用切应力[???? MPa，h/b?3/2。试求梁的横截面尺寸。 解：F在跨中时，得MF在靠近支座时，FmaxFh1mb?Fl?10 kN?m 4Mmax?[?? WzSmax?F?40 kN, ?max?b?0.139 m, h?0.208 m ?max?
3FSmax?2.07 MPa?[??，安全 2A12-11、图示简支梁，由三块尺寸相同的木板胶合而成。已知许用切应力[????? MPa，许用应力 [???? MPa，胶缝的许用切应力[????? MPa， l?400 mm，b?50 mm，h?80 mm，试求许可载荷[F]。 解：Mmax?M22Fl, FSmax?F, ?max?max?[??? F?4.2 kN 93WFhb2l/3l/3?max?胶缝??
3FSmax?[??? F?40 kN 2A?FSmaxSz?[???? F?22.5 kN 取 [F]?4.2 kN Izbmax38 练习13 弯曲变形
13-1 是非题
（1）任一平面弯曲梁的挠曲线必定是一条与外力作用面重合或平行的平面曲线。(是 )
（2）只要满足线弹性条件，就可应用挠曲线近似微分方程，并通过积分法求梁的位移。(非 )
答：还应满足小变形条件。
（3）若两梁弯曲刚度相同，且弯矩方程M(x)也相同，则两梁的挠曲线形状一定相同。 (是 ) （4）若两梁弯曲刚度相同，且弯矩方程M(x)也相同，则两梁对应截面的位移一定相同。 (非 )
答：位移还与约束条件有关，约束不同则位移不一定相同。
（5）梁上弯矩最大的截面，其挠度也最大，而弯矩为零的截面，其转角则为零。 (非 )
答：位移不仅与内力有关，而且与边界位移条件有关。
（6）两根材质不同但截面形状尺寸及支承条件完全相同的静定梁，在承受相同载荷作用下，两梁对应截面处位移相同。 ( 非 )答：位移还与E有关，材质不同则E不同。
（7）等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率最大值一定发生在转角θ等于零的截面处。(非 )
答： 由1??M(x)可知，曲率最大值发生在Mmax位置。 EI（8）阶梯状变截面梁受荷载如图示，当用积分法求位移时，因有三个M(x)方程，则将出现6个积分常数。(非) 答：荷载分梁为三段，有三个M(x）方程，但CD段内刚度变化，
应有四个挠曲线近似微分方程，将出现8个积分常数。
F2EIACEIDqB
13-2 填空题
（1）梁变形中挠度和转角之间的关系为w?(x)??(x)
（2）当梁上作用有均布载荷时，挠曲线方程是x的 4 次方程，作用有集中力时，挠曲线方程是x的 3 次方程，作用有集中力偶时，挠曲线方程是x的 2 次方程。
2（3）已知梁的挠曲线方程w(x)?Fx(3l?x)，则梁的M(x)方程为F(l?x)
6EI（4）用积分法求图示梁的挠曲线方程时，
边界条件是 x=a，w1=0，w2=0；x=2a，w2=0，w3=0；
连续条件是 x=a，w1??w2?；x=2a，w2??w3?。
wqABCMexaaaD（5）应用叠加原理求梁的变形及位移应满足的条件是 线弹性 ，和 小变形 。 （6）为使图示梁在自由端C处的转角为零，则Me= ，3wC= 。答：M?1Fl，w?Fl（↓）
eC3EI4FEIAlBlMeC（7）两根梁尺寸、受力和支承情况完全相同，但材料不同，弹性模量分别为E1和E2，且E1=7E2，则两根梁的挠度之比w1/w2为 1/7 。
39
（8）图示超静定结构承受任意载荷作用。若取B端作为多余约束，则相应的变形协调条件是wB?0
。
AqB（9）已知图(a)所示梁中点C的挠度为w?Fb(3l2?4b2)（a≥b），则图(b)所示梁中点C的挠度
C48EI3为wC=0.024Fl（↓）。
EIaAl/2EIC(a)FbBl/2A0.2lFEIl/2C(b)F0.2lBFhlbl/2
第（9）题图 第（10）题图 （10）矩形截面悬臂梁受载荷如图示。
（a）若梁长l增大至2l，则梁的最大挠度增大至原来的 8 倍；
（b）若梁截面宽度由b减小到b/2，则梁的最大挠度增大至原来的 2 倍； （c）若梁截面高度由h减小到h/2，则梁的最大挠度增大至原来的 8 倍。
13-3、已知杆BC的拉压刚度为Ea2，梁AB的弯曲刚度为2Ea4/3。试用积分法求端点A的转角 θ
A和梁的中点挠度。
解：EIw????qx2?qlx
2CwA2lqBlxC??ql2(a?l2),D?03EIw???EIw??q4ql3ql2x?x?(a?l2)623q4ql3ql2x?x?(a?l2)x 2463?A??ql22(a?l)（2Ea4）
ql2?252?（↓）
w中??a?l?8?2Ea4?
40