湖南省长沙市长郡中学2016届高考模拟卷(一)数学(理)试题 Word版含答案

(2)由表3知AQI不高于200的频率为0.1,AQI指数在200至400的频率为0.2,AQI指数大于400的频率为0.7.

设“洗车店每天亏损约200元”为事件A,“洗车店每天收入约400元”为事件B,“洗车店每天收入约700元”为事件C,

则P(A)?0.1,P(B)?0.2,P(C)?0.7, (ⅰ)设洗车店每天收入为X元,则X的分布列为

则X的数学期望为EX??200?0.1?400?0.2?700?0.7?550(元).

(ⅱ)由(ⅰ),“连续三天洗车店收入不低于1200元包含1A2C,3B,2B1C,1B2C,3C五种情况”,

则“连续三天洗车店收入不低于1200元”的概率:

222P?0.23?C3?0.72?0.1?C3?0.72?0.2?C3?0.22?0.7?0.73?0.876.

19.【解析】(1)∵AB//平面EFGH,

又∵AB?平面ABD,平面ABD?平面EFGH?EF, ∴AB//EF, 同理CD//HE,

∵AB?6,BC?3,AC?3, ∴AB?BC?AC, ∴AB?BC, 同理BC?DC, ∴BC?EF, 同理BC?EH,

又∵EF,EH是平面EFGH内的两相交直线, ∴BC?平面EFGH.

(2)由(1)及异面直线AB,CD互相垂直知,直线AB,BC,CD两两垂直,

222作??Cz?//??BA??,建立空间直角坐标系C?xyz,如图所示,

则C(0,0,0),D(1,0,0),B(0,3,0),A(0,3,6),

∵x轴?平面ACD,∴平面ACD的一个法向量可设为?n?(0,y,1),

∵???DA??(?1,3,6),∴?D???A??n?0?3y?6?0,得:y??2,即?n?(0,?2,1)又∵z轴//平面ABD,∴平面ABD的一个法向量可设为?m??(x,1,0), ∴???DA???m???x?3?0,得x?3,即?m??(3,1,0),

设二面角B?AD?C的大小为?,那么|cos?|?|?n??m?|26|?n||?m?|?23?6, ∴sin??306,∴二面角B?AD?C的正弦值为306. 20.【解析】(1)因为抛物线C:x2?2py(p?0)的焦点为F(0,1), 所以

p2?1,解得p?2,所以抛物线C的方程为x2?4y. 由抛物线和圆的对称性,可设圆Q:x2?(y?b)2?r2,

∵PQ1?PQPP02Q,∴?PQP12是等腰直角三角形,则?12?45,

∴P22(2r,b?22r),代入抛物线方程有r22?4b?22r. 由题可知在Px21,P2处圆和抛物线相切,对抛物线?4y求导得y'?x2, 所以抛物线在点P2处切线的斜率为k?2r4. ,

r22r由?QPP?1,所以r?22,代入?4b?22r,解得b?3. 12?45,知k?240所以圆Q的方程为x2?(y?3)2?8.

(2)设直线l的方程为y?kx?1,且k?tan??[3,1], 3圆心Q(0,3)到直线l的距离为d?21?k2,

∴|AB|?2r?d?42?221, 21?k?x2?4y由?,得y2?(2?4k2)y?1?0,设M(x1,y1),N(x2,y2), ?y?kx?1则y1?y2?4k2?2,由抛物线定义知,|MN|?y1?y2?2?4(1?k2), 所以|MN|?|AB|?16(1?k)2?21, 21?k设t?1?k,因为243?k?1,所以?t?2,

33所以|MN|?|AB|?16t2?1114?162t2?t?162(t?)2?(?t?2), t483所以当t?43325时,即k?时,|MN||AB|有最小值. 333?2x21.要证x?[0,1]时,(1?x)e记h(x)?(1?x)e?x?1?x,只需证明(1?x)e?x?(1?x)ex.

?(1?x)ex,则h'(x)?x(ex?e?x),

当x?(0,1)时,h(x)?0,因此h(x)在[0,1]上是增函数,故h(x)?h(0)?0, 所以f(x)?1?x,x?[0,1]. 要证x?[0,1]时,(1?x)ex?2x'?1x,只需证明e?x?1, 1?xx记K(x)?e?x?1,则K(x)?e?1,

当x?(0,1)时,k(x)?0,因此K(x)在[0,1]上是增函数,故K(x)?K(0)?0,

''1,x?[0,1]. 1?x1综上,1?x?f(x)?,x?[0,1].

1?x所以f(x)?(2)(解法一)

f(x)?g(x)?(1?x)e?2xx3?(ax??1?2xcosx)

2x3?1?x?ax?1??2xcosx

2x2??x(a?1??2cosx).

2x2?2cosx,则G'(x)?x?2sinx, 设G(x)?2记H(x)?x?2sinx,则H'(x)?1?2cosx,

当x?(0,1)时,H'(x)?0,于是G'(x)在[0,1]上是减函数,

从而当x?(0,1)时,G'(x)?G'(0)?0,故G(x)在[0,1]上是减函数,于是

G(x)?G(0)?2,

从而a?1?G(x)?a?3,

所以,当a??3时,f(x)?g(x)在[0,1]上恒成立. 下面证明,当a??3时,f(x)?g(x)在[0,1]上不恒成立,

1x3f(x)?g(x)??1?ax??2xcosx

1?x2?xx3??ax??2xcosx 1?x21x2??x(?a??2cosx).

1?x21x21?1?a??2cosx??a?G(x),则I'(x)??G'(x), 记I(x)?21?x21?x(1?x)当x?(0,1)时,I'(x)?0,故I(x)在[0,1]上是减函数. 于是I(x)在[0,1]上的值域为[a?1?2cos1,a?3].

因为当a??3时,a?3?0,所以存在x0?(0,1),使得I(x0)?0此时f(x0)?g(x0),即

f(x)?g(x)在[0,1]上不恒成立.

综上,实数a的取值范围是(??,?3]. (解法二)

先证当x?[0,1]时,1?记F(x)?cosx?1?121x?cosx?1?x2. 2412x,则F'(x)??sinx?x, 2,当x?0(1),时,于是G(x)在[0,1]G'(x)?0,

记G(x)??sinx?x,则G'(x)??cosx1?上是增函数,因此当x?(0,1)时,G(x)?G(0)?0,从而F(x)在[0,1]上是增函数,因此

F(x)?F(0)?0.

所以当x?[0,1]时,1?12x?cosx. 212x. 4同理可证,当x?[0,1]时,cosx?1?综上,当x?[0,1]时,1?因为当x?[0,1]时,

121x?cosx?1?x2. 24f(x)?g(x)?(1?x)e?2xx2?(ax??1?2xcosx)

2x21?(1?x)?ax??1?2x(1?x2)

24??(a?3)x,

所以当a??3时,f(x)?g(x)在[0,1]上恒成立.

下面证明,当a??3时,f(x)?g(x)在[0,1]上不恒成立,因为

f(x)?g(x)?(1?x)e?2xx2?(ax??1?2xcosx)

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