高三数学二轮复习微专题——
函数与导数中的不等式证明（2）
【教学目标】
1．简单复习不等式证明中的最值法（作差构造新函数法）、构造双函数法；
2．通过数形结合，理解、记忆、运用e≥x?1和lnx≤x?1，初步学会切线放缩法；
x3．尝试对e≥x?1和lnx≤x?1变形．
x【教学重点】
利用数形结合，理解、记忆、运用e≥x?1和lnx≤x?1．
x【教学难点】
1． 什么时候使用切线放缩法？ 2． 如何使用切线放缩法？
【学法指导】
独立思考，相互交流，勇于展示．
【教学过程】
例1．求证：不等式2e
x?52?lnx?1?0恒成立． xyy?exy?x?1y?x?1 1
1
y?lnx1
Ox总结：
y?x?1是y?ex在______处的切线，有______________恒成立，当且仅当x?_____时，“?”成立； y?x?1是y?lnx在______处的切线，有______________恒成立，当且仅当x?_____时，“?”成立．
x例2．（2013．全国2）已知函数f(x)?e?ln(x?m)，求证：当m≤2时，f(x)?0．
讨论：
从e≥x?1和lnx≤x?1出发，可以有哪些变形呢？
x e?x
xe≥ex同乘exex≥x?1≥ln(x?2)ex?1≥x用(x?1)代替x放缩ex≥x?1用(?x)代替xlnx≤x?1e?x≥?x?1取倒数ex≤1(0?x?1)1?x课内训练： 求证：当a≤4时，函数f(x)?ex?4x?ax在(0,??)上单调递增．
课后训练
1．（2012年.全国）设点P在曲线y?1xe上，点Q在曲线y?ln(2x)上，则|PQ|的最小值为（ ） 2A．1?ln2 B．2(1?ln2) C．1?ln2 D．2(1?ln2) 2．（2017年.高考模拟）若函数f(x)?12x?(a?1)x?alnx≥0恒成立，求实数a的取值范围． 23．（2017年.全国3.改编）已知函数f(x)?x?1?alnx． （1）若f(x)≥0，求a的值；
?（2）若n?N，求证(1?)(1?12111)(1?)...(1?)?e． 23n2221ex4．（2018年.全国1）已知函数f(x)?ae?lnx?1，求证：当a≥时，f(x)≥0．