《中考真题》2019年中考数学母题题源系列专题03 解直角三角形的应用(第二篇)(原卷版)

专题03 解直角三角形的应用

【母题来源一】【2019?甘肃】为了保证人们上下楼的安全,楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制.中小学楼梯宽度的范围是260 mm~300 mm含(300 mm),高度的范围是120 mm~150 mm(含150 mm).如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图,测量结果如下:AB,CD分别垂直平分踏步EF,GH,各踏步互相平行,AB=CD,AC=900 mm,∠ACD=65°,试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定.(结果精确到1 mm,参考数据:sin65°≈0.906,cos65°≈0.423)

【解析】如图,连接BD,作DM⊥AB于点M,

∵AB=CD,AB,CD分别垂直平分踏步EF,GH, ∴AB∥CD,AB=CD,

∴四边形ABCD是平行四边形, ∴∠C=∠ABD,AC=BD, ∵∠C=65°,AC=900, ∴∠ABD=65°,BD=900,

=900×0.423≈381,DM=BD?sin65°=900×0.906≈815, ∴BM=BD·cos65°

1

3=127,120<127<150, ∵381÷

∴该中学楼梯踏步的高度符合规定, ∵815÷3≈272,260<272<300, ∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定,

由上可得,该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定.

【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用,解答本题的关键是明确题意,利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.

【母题来源二】【2019?潍坊】自开展“全民健身运动”以来,喜欢户外步行健身的人越来越多,为方便群众步行健身,某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造.如图2所示,改造前的斜坡AB=200米,坡度为1∶3;将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后,斜坡AB改造为斜坡CD,其坡度为1∶4.求斜坡CD的长.(结果保留根号)

【解析】∵∠AEB=90°,AB=200,坡度为1∶3, ∴tan∠ABE?13, ?33∴∠ABE=30°, ∴AE?1AB=100, 2∵AC=20, ∴CE=80,

∵∠CED=90°,斜坡CD的坡度为1∶4,

CE1?, DE4801?, 即

ED4∴

解得,ED=320,

∴CD?802?3202?8017米,

2

答:斜坡CD的长是8017米.

【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题,解答本题的关键是明确题意,利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.

【母题来源三】【2019?陕西】小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D,并在点D处安装了测量器DC,测得古树的顶端A的仰角为45°;再在BD的延长线上确定一点G,使DG=5米,并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿着BG方向移动,当移动带点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,此时,测得FG=2米,小明眼睛与地面的距离EF=1.6米,测倾器的高度CD=0.5米.已知点F、G、D、B在同一水平直线上,且EF、CD、AB均垂直于FB,求这棵古树的高度AB.(小平面镜的大小忽略不计)

【解析】如图,过点C作CH⊥AB于点H,

则CH=BD,BH=CD=0.5. 在Rt△ACH中,∠ACH=45°, ∴AH=CH=BD, ∴AB=AH+BH=BD+0.5. ∵EF⊥FB,AB⊥FB, ∴∠EFG=∠ABG=90°. 由题意,易知∠EGF=∠AGB, ∴△EFG∽△ABG,

3

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4