专题03 解直角三角形的应用
【母题来源一】【2019?甘肃】为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260 mm～300 mm含（300 mm），高度的范围是120 mm～150 mm（含150 mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900 mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1 mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）
【解析】如图，连接BD，作DM⊥AB于点M，
∵AB=CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH， ∴AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C=∠ABD，AC=BD， ∵∠C=65°，AC=900， ∴∠ABD=65°，BD=900，
=900×0．423≈381，DM=BD?sin65°=900×0．906≈815， ∴BM=BD·cos65°
1
3=127，120<127<150， ∵381÷
∴该中学楼梯踏步的高度符合规定， ∵815÷3≈272，260<272<300， ∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
【母题来源二】【2019?潍坊】自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB=200米，坡度为1∶3；将斜坡AB的高度AE降低AC=20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）
【解析】∵∠AEB=90°，AB=200，坡度为1∶3， ∴tan∠ABE?13， ?33∴∠ABE=30°， ∴AE?1AB=100， 2∵AC=20， ∴CE=80，
∵∠CED=90°，斜坡CD的坡度为1∶4，
CE1?， DE4801?， 即
ED4∴
解得，ED=320，
∴CD?802?3202?8017米，
2
答：斜坡CD的长是8017米．
【名师点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
【母题来源三】【2019?陕西】小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG=5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG=2米，小明眼睛与地面的距离EF=1.6米，测倾器的高度CD=0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
【解析】如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH=BD，BH=CD=0.5． 在Rt△ACH中，∠ACH=45°， ∴AH=CH=BD， ∴AB=AH+BH=BD+0.5． ∵EF⊥FB，AB⊥FB， ∴∠EFG=∠ABG=90°． 由题意，易知∠EGF=∠AGB， ∴△EFG∽△ABG，
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