显示积分在橡胶产品设计分析中的应用
周炜、黄友剑、张亚新
株洲时代新材科技股份有限公司技术中心，株洲，421007
摘 要：用隐示积分对橡胶元件进行承载有限元分析过程中，因变形过大而产生严重的网格畸变，导致分析不能收敛。为使分析能够完成，可将橡胶变形过程看成一个准静态问题，采用显示积分进行求解，可以得到完整的载荷位移曲线。 关键词：橡胶，大变形，显示积分
橡胶弹性元件能够有效的衰减振动、隔离噪音，具有质量轻、易维护和保养等优点。目前广泛应用于铁路、城市轨道交通、汽车、工程机械、工业装备、军事、化工等行业。橡胶元件在承载过程中，往往会表现出大变形的承载效果。在对橡胶元件进行受力分析过程中，因橡胶变形过大，采用常规的隐示积分进行求解时，往往会因为橡胶单元发生了严重扭曲变形，从而使求解无法收敛。针对这一情况，一些文章中提出了网格重划方法[1、2]。但网格重划技术具有一定的局限性，只能用于结构及载荷均呈轴对称特点的分析，并且分析过程比较繁琐，往往需要经过多次网格重划过程才能得到较为理想的结果。对于一般结构的橡胶元件，网格重划方法不一定适用。为了有效解决橡胶元件大变形的分析问题，对于一般结构橡胶元件，可以采用显示积分进行分析。显示积分能够有效克服橡胶元件因大变形而导致的分析收敛性差问题，使工程分析人员获得所需要的变形结果及整体的载荷、位移曲线。
隐式积分和显示积分是ABAQUS软件常用的两种求解方法，本文将以一种典型橡胶元件橡胶弹簧产品的大变形分析为例对显示积分在橡胶产品设计分析中的应用进行探讨。 1 求解方法
ABAQUS的隐式积分和显示积分求解器具有解决各类工程问题的能力。
隐式积分采用Newton－Raphson法、增量法和迭代法求解大型方程组，在每一个载荷增量步中都进行一系列迭代，并对计算结果逐步修正，直至满足平衡迭代。由于存在大量的平衡迭代，因此用隐式积分法进行分析求解存在收敛问题。
显示积分法采用中心差分法求解大型方程组，显示地对运动方程在时间上进行积分，利用上一个增量步地平衡方程动态地计算下一增量步地状态。显示积分法不需要迭代，因此不存在收敛问题。
一般而言，隐示积分法适用于结构静力分析、耦合分析、动态线性分析和热分析等。显示积分法适用于高速动力问题，复杂接触问题，材料磨损和失效问题等。对于一些运动速度和加载速度较小且对分析结果影响不大的准静态问题，也可以采用显示积分进行求解。结合橡胶元件的试验过程，可以将一部分橡胶元件的受力分析看成准静态分析问题，采用显示积分进行求解。 2. 橡胶元件的结构力学特征
橡胶元件的分析涉及到固体力学、摩擦学、高分子材料学以及计算方法等方面的理论知识，因此要对其进行精确研究在理论上
存在困难，难以全真模拟。现简单介绍橡胶元件中的三重非线性。 2.1 几何非线性
橡胶元件在承载过程中，往往会表现出大变形的承载效果。在一定的载荷作用下，尽管应变较小，未超过弹性极限，但位移较大，位移和变形关系已远远超出了线性理论的范畴。这时必须考虑变形对平衡的影响，即平衡条件应建立在变形后的位移上，同时应变表达式也应包括位移的二次项，因此平衡方程和几何关系都表现为复杂几何非线性[2,3]。
2.2 橡胶体超弹材料非线性
橡胶材料属超弹性材料，在变形过程中，应力是瞬时应变的非线性函数。这种应力应变关系需要通过应变能密度函数来描述。在分析软件中，应用最多的还是Mooney-Rivlin本构模型，通过单轴拉伸、平面剪切与等双轴拉伸等试验，来拟合出该模型。运用Mooney-Rivlin本构模型描述的应变能函数.
U?C110(I1?3)?C01(I2?3)?(Jel?1)2D
式中U为应变能函数；C10、C01为材料参数，通过试验数据拟合确定；I1、I2为第1、2偏应变不变量；Jel为弹性体积比；D1为决定材料是否可压。
2.3 边界(状态)非线性
接触问题的复杂性是由于系统接触状态的改变造成的，故接触问题又被称为是广泛存在于工程实际的一个复杂的状态非线性问题。橡胶元件分析中广泛存在着变形接触。由于弹性元件受力变形后橡胶体和金属部件之间以及橡胶体之间的接触是不能事先判断准确的，这种接触问题只能运用面面接触的力学模型。ABAQUS程序采用罚单元法描述接触问题。从变分角度看，是将结构的总势能?表达为应变势能W、外力势能We 和接触力势能Q的和。即
??W?We?Q
通过罚单元给出Q的表达式，从而可解
决接触面不被穿透的问题。
3 橡胶弹簧产品的分析实例
橡胶弹簧是一种结构较为复杂的橡胶元件，本文将以此为例进行分析。橡胶弹簧的主要承载为垂向持续动载，产品结构为纯橡胶的非轴对称结构。
图1：橡胶弹簧1/2模型初始网格结构
图1为橡胶弹簧承载前的1/2网格模型，上、下部分为金属试验工装，中间为橡胶体，橡胶高度176mm，分析要求预测出承受105mm压缩时的变形状态。 3.1 隐式积分求解
将橡胶弹簧的变形过程看成结构静力问题，采用隐式积分进行求解。
图2：橡胶体隐示积分的变形状态（位移64mm）
利用Mooney-Rivlin本构模型模拟橡胶
材料的变形特性，同时利用线弹性属性：弹
性模量及泊桑比来模拟金属的变形特性。在本文的模型中，共定义橡胶单元（C3D8H）
17360个，缩减积分单元（C3D8R）2040个。在分析模拟过程中，分析进行到压缩为64mm（见图2）时，因部分网格变形太大而畸变，接触问题过于复杂，致使分析无法收敛。
3.2 显示积分求解
将橡胶弹簧的变形过程看成结构准静态问题，如果采用显示积分进行求解，可有效避免接触过于复杂，分析无法收敛问题。
图3：橡胶体显示积分的变形状态（位移105mm）
图4：橡胶体显示积分的变形状态（位移64mm）
图4为用显示积分进行求解得到的橡胶
弹簧橡胶体部分在64mm位移情况下的应力云图。与采用隐示积分求解得到的64mm位移情况下的应力云图相比，Mises应力值基本相等，且应力分布情况基本一致。 3.3 结果处理
橡胶产品的一个重要设计指标为满足要求的载荷位移特性曲线。采用隐示积分求解空心簧，由于分析不能收敛，不能得到完整的载荷位移曲线，如图5所示。利用分析结果采用数据拟合方式得到的载荷位移曲线与试验值相比误差较大，不能正确描述空心簧的非线性刚度特性。
采用显示积分计算可以得到完整的载
荷位移曲线。曲线的前半段与隐示积分得到的载荷位移曲线基本一致，曲线的后半段与产品的实验数据基本一致，很好的描述了空心簧的非线性刚度特性。