真题演练集训
1．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞) 答案：A
解析：设y＝g(x)＝则g′(x)＝
fx(x≠0)， xxf′x－fx，
x2
当x>0时，xf′(x)－f(x)<0， ∴ g′(x)<0，
∴ g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0. ∵ f(x)为奇函数，∴ g(x)为偶函数， ∴ g(x)的图象的示意图如图所示． 当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0,0＜x＜1； 当x＜0，g(x)＜0时，f(x)>0，x＜－1.
∴ 使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.
2．若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)>k>1，则下列结论中一定错误的是( )
?1?1A．f??<
k??kC．f?
?1?1 B．f??>
?k?k－1
D．f?
?1?<1 ??k－1?k－1?1?>k ?
?k－1?k－1
答案：C
解析：令g(x)＝f(x)－kx＋1， 则g(0)＝f(0)＋1＝0，
g?
?1?＝f?1?－k·1＋1
???k－1?k－1??k－1??1?－1. ?
?k－1?k－1
3
2
＝f?
∵ g′(x)＝f′(x)－k>0，
∴ g(x)在已知函数f(x)＝ax－3x＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) C．(1，＋∞) 答案：B
解析：f′(x) ＝3ax－6x，
当a＝3时，f′(x)＝9x－6x＝3x(3x－2)， 则当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；
22
B．(－∞，－2) D．(－∞，－1)
?2?当x∈?0，?时，f′(x)<0； ?3??2?当x∈?，＋∞?时，f′(x)>0. ?3?
?2?5
注意f(0)＝1，f??＝>0，则f(x)的大致图象如图所示．
?3?9
不符合题意，排除A，C.
42
当a＝－时，f′(x)＝－4x－6x＝－2x(2x＋3)，
33??则当x∈?－∞，－?时，f′(x)<0； 2??
?3?当x∈?－，0?时，f′(x)>0，；
?2?
5?3?当∈(0，＋∞)时，f′(x)<0.注意f(0)＝1，f?－?＝－，则f(x)的大致图象如图所示． 4?2?
不符合题意，排除D.
πx222
4．设函数f(x)＝3sin .若存在f(x)的极值点x0满足x0＋ m( ) A．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案：C πx0π 解析：由正弦型函数的图象可知，f(x)的极值点x0满足f(x0)＝±3，则＝＋kπ(km2 ?1??1?222222 ∈Z)，从而得x0＝?k＋?m(k∈Z)．所以不等式x0＋ ?2??2? m2?1－?k＋?2?>3，其中k∈Z.由题意，存在整数k使得不等式m2?1－?k＋?2?>3成立．当k≠ 22 ? ??? 1?? ?? ???? 1?? ?? ?1?2 －1且k≠0时，必有?k＋?>1，此时不等式显然不能成立，故k＝－1或k＝0，此时，不等 ?2? 32 式即为m>3，解得m<－2或m>2. 4 5．已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A. ?x0∈R，f(x0)＝0 B. 函数y＝f(x)的图象是中心对称图形 C. 若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D. 若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 答案：C 解析：由三次函数的值域为R知f(x)＝0有解，所以A项正确；因为y＝x的图象为中心对称图形，而f(x)＝x＋ax＋bx＋c的图象可以由y＝x的图象平移得到，故B项正确；若f(x) 3 2 3 3 3 2