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《数值分析》课程实验一：插值与拟合
一、实验目的
1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性；
2. 编写MATLAB程序实现Lagrange插值和Newton插值，验证Runge现象； 3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理； 4. 编写MATLAB程序实现最小二乘多项式曲线拟合。
二、实验内容
1. 用Lagrange插值和Newton插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB程序绘制出三次插值公式的图形。
2. 设
f(x)?1,x?[?5,5] 21?x如果用等距节点xi = -5 + 10i/n (i = 0, 1, 2, …, n)上的Lagrange插值多项式Ln(x)去逼近它。不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB程序绘制出L5(x)和L10(x)的图像。
3. 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系如下表，试求含碳量与时间t的拟合曲线。 t (min) y (×10-5) 0 0 5 1.27 10 2.16 15 2.86 20 3.44 25 3.87 30 4.15 35 4.37 40 4.51 45 4.58 50 4.02 55 4.64 (1) 用最小二乘法进行曲线拟合； (2) 编写MATLAB程序绘制出曲线拟合图。
三、实验步骤
1. (1) Lagrange插值法：在线性空间Pn中找到满足条件：
?1,li(xj)??ij???0,的一组基函数?li(x)?i?0，li(x)的表达式为
ni?j,i?j
li(x)?nj?0,j?i?nx?xjxi?xj(i?0,1,?,n)
有了基函数?li(x)?i?0，n次插值多项式就可表示为
Ln(x)??yili(x)
i?0n(2) Newton插值法：设x0, x1, …, xn是一组互异的节点，yi = f(xi) (i = 0, 1, 2, …, n)，f(x)在处的n阶差商定义为
范文.
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f[x0,x1,?,xn]?则n次多项式
f[x1,x2,?,xn]?f[x0,x1,?,xn?1]
xn?x0Nn(x)?f(x0)?f[x0,x1](x?x0)?f[x0,x1,x2](x?x0)(x?x1)???f[x0,x1,?xn](x?x0)(x?x1)?(x?xn?1)差商表的构造过程：
xi x0 x1 x2 x3 x4 f(xi) f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) 一阶差商 f[x0, x1] f[x1, x2] f[x2, x3] f[x3, x4] 二阶差商 f[x0, x1,x2] f[x1, x2,x3] f[x2, x3,x4] 三阶差商 f[x0, x1,x2,x3] f[x1, x2,x3,x4]
四阶差商 f[x0, x1,x2,x3,x4] MATLAB程序实现：
范文.
试验结果：范文.
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