课时知能训练
一、选择题
1．(2012·清远模拟)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【解析】 设过点(0,1)斜率为k的直线方程为y＝kx＋1.
??y＝kx＋1由?2
??y＝4x2
得kx＋(2k－4)x＋1＝0，(*)
22
当k＝0时，方程(*)只有一根，
当k≠0时，Δ＝(2k－4)－4k＝－16k＋16， 由Δ＝0，即－16k＋16＝0得k＝1，
∴k＝0，或k＝1时，直线与抛物线只有一个公共点， 又直线x＝0和抛物线只有一个公共点，故选C. 【答案】 C
2．直线y＝x＋1截抛物线y＝2px所得弦长为26，此抛物线方程为( ) A．y＝2x B．y＝6x C．y＝－2x或y＝6x D．以上都不对 【解析】 由?
?y＝x＋1???y＝2px2
2
2
2
222
2
得x＋(2－2p)x＋1＝0.
2
x1＋x2＝2p－2，x1x2＝1.
∴26＝1＋1·＝2·
2p－2
2
2
2
x1＋x2
－4.
2
－4x1x2
解得p＝－1或p＝3，
∴抛物线方程为y＝－2x或y＝6x. 【答案】 C
2
x2y2
3．双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则
ab直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )
A．k＞－ B．k＜ C．k＞或k＜－ D．－＜k＜
【解析】 由双曲线渐近线的几何意义知－＜k＜. 【答案】 D
4．斜率为1的直线l与椭圆＋y＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )
445
A．2 B. 5
babababababababax2
2
C.
410810
D. 55
2
2
【解析】 设椭圆与直线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
??x＋4y＝4，由?
?y＝x＋t.?
消去y，得5x＋8tx＋4(t－1)＝0.
22
84则有x1＋x2＝－t，x1x2＝
5∴|AB|＝1＋k|x1－x2| ＝2·
8－t5
2
2
t2－1
5
.
4－4×
t2－1
5
＝
422
5－t， 5
410
当t＝0时，|AB|max＝.
5【答案】 C
12
5．抛物线y＝2x上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，
2则m等于( )
35
A. B．2 C. D．3 22【解析】 kAB＝
y2－y122
＝－1，且y2－y1＝2(x2－x1)， x2－x1
1x2＋x1y2＋y1
得x2＋x1＝－，又(，)在直线y＝x＋m上，
222∴
y2＋y1x2＋x1
2
2
2
＝
2
＋m，y2＋y1＝x2＋x1＋2m.
2(x2＋x1)＝x2＋x1＋2m，
32
∴2[(x2＋x1)－2x2x1]＝x2＋x1＋2m,2m＝3，m＝.
2【答案】 A 二、填空题
6．已知(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．
369【解析】 设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)． 则＋＝1，且＋＝1， 369369两式相减得
x2y2
x21y21x22y22
y1－y2x1＋x2
＝－， x1－x24y1＋y2
又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， ∴
y1－y211
＝－，故直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0. x1－x222
【答案】 x＋2y－8＝0
x2y2
7．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．
5m
【解析】 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，由题意，点(0,1)在椭圆内或椭圆上． ∴m≥1，且m≠5. 【答案】 m≥1，且m≠5
8．(2012·惠州调研)已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y＝2x上，则|PQ|的最小值等于________．
【解析】 设直线l′平行于直线x＋y＋5＝0，且与抛物线相切，设l′：y＝－x＋m，
??y＝－x＋m由?2
??y＝2x2
得y＋2y－2m＝0，
2
1由Δ＝4＋8m＝0得m＝－.
2
1|5－|
29292
则两直线距离d＝＝，即|PQ|min＝.
442【答案】
92
4
三、解答题
图8－9－3
9．如图8－9－3，过椭圆＋＝1内一点M(1,1)的弦AB.
164(1)若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程； (2)求过点M的弦的中点的轨迹方程．
【解】 (1)设直线AB的斜率为k，则AB的方程可设为y－1＝k(x－1)，
x2y2
y＝kx－1＋1，??22由?xy＋＝1，??164
2
2
消去y得(1＋4k)x＋8k(1－k)x＋4(1－k)－16＝0， 8k设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝又M(1,1)是AB中点，则8k综上，得
k－1
， 2
1＋4kx1＋x2
2
＝1.
k－11
＝2，解得k＝－. 2
1＋4k4
1
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－1)，
4即x＋4y－5＝0.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB的中点为P(x，y)，
??16＋4＝1， 则?xy??16＋4＝1， ②
2
2
22
x212
y1
①
1x1＋x2y－1
由①－②得(－)·＝，
4y1＋y2x－1而x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y. 12xy－1∴(－)·＝. 42yx－1
整理，得轨迹方程为x＋4y－x－4y＝0.
10．(2012·佛山模拟)已知椭圆P的中心O在坐标原点，焦点在x轴上，且经过点
1
2
2
2
A(0,23)，离心率为.
(1)求椭圆P的方程；
→→16
(2)是否存在过点E(0，－4)的直线l交椭圆P于点R，T，且满足OR·OT＝.若存在，
7求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
x2y2
【解】 (1)设椭圆P的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，
abc1
由题意得b＝23，e＝＝，
a2
∴a＝2c，b＝a－c＝3c，c＝4，c＝2，a＝4， ∴椭圆P的方程为＋＝1.
1612(2)假设存在满足题意的直线l.
→→
易知当直线l的斜率不存在时，OR·OT＜0不满足题意． 故可设直线l的方程为y＝kx－4，
2
2
2
2
2
x2y2
R(x1，y1)，T(x2，y2)．
16→→16
∵OR·OT＝，∴x1x2＋y1y2＝.
77
y＝kx－4??2
由?xy2
＋＝1??1612
，得(3＋4k)x－32kx＋16＝0，
2
2
22
由Δ＞0得，(－32k)－4(3＋4k)×16＞0， 12
解得k＞.①
4
32k16
∴x1＋x2＝2，x1x2＝2，
3＋4k3＋4k∴y1y2＝(kx1－4)(kx2－4) ＝kx1x2－4k(x1＋x2)＋16，
2
1616k128k16
故x1x2＋y1y2＝， 2＋2－2＋16＝
3＋4k3＋4k3＋4k7解得k＝1，② 由①②解得k＝±1， ∴直线l的方程为y＝±x－4.
故存在直线l：x＋y＋4＝0或x－y－4＝0满足题意．
11．(2012·青岛模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，点F1、F2分别是椭圆
2
22
a2
的左、右焦点，在直线x＝(a、c分别为椭圆的长半轴和半焦距的长)上的点P(2，3)，
c满足线段PF1的中垂线过点F2.过原点O且斜率均存在的直线l1、l2互相垂直，且截椭圆所得的弦长分别为d1、d2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求d1＋d2的最小值及取得最小值时直线l1、l2的方程．
2
2
x2y2
【解】 (1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，
aba??＝2，
依题意有|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以?c??2c2－2－c2
2
＝3，
?c＝1，
解得?
?a＝2，
所以，b＝1，所求椭圆方程为＋y＝1.
2
x2
2
1
(2)设kl1＝k，则kl2＝－，
k222
直线l1：y＝kx与椭圆＋y＝1，联立得：x＝2，
21＋2k2ky＝2，
1＋2k2
2
x2
4
所以，d＝4(x＋y)＝
21
2
2
2＋2k2
1＋2k2
＝4＋
4
2， 1＋2k82
同理可得：d2＝8－2，
2＋k所以，d＋d＝12＋＝12－
21
22
－12k1＋2k2
2
2＋k2
12k＝12－4 2
2k＋5k＋2
2
12432
≥12－＝， 2332
2k＋2＋5
k22
当且仅当2k＝2，即k＝±1时等号成立，
k3222
∴d1＋d2的最小值为，此时直线l1与l2的方程分别为y＝±x.
3