湖南大学 数学分析
一．（15分）设f(x)在?0,1?上连续，证明：
h?0?lim?h?f(x)dx?f(0).
0h2?x221二．（15分）证明函数
?x?2??e,x?0f(x)??
??0,???????????????x?0是无穷次可微函数.
x2三．（15分）设pn(x)?1?x??2!limx???. 求证：xm?0，且有m??mxn ?,xm是p2m?1(x)?0的实根。
n!四．（15分）设函数f(x)满足条件： （1）???a?f(x)?b???,(a?x?b); （2）f(x)?f(y)?x?y,(x,y???a,b??). 设x1???a,b??，并且定义序列{xn}：
1xn?1?[xn?f(xn)]??(n?1,2,).
2x?x存在，且f(x)?x. 试证：nlim???n五．（15分）证明：若函数f(x)在?0,???内可微，且
x???limf'(x)?0,
则limx???f(x)?0. x
plnx??f(x)?1?六．（15分）设??，讨论积分
x??x?的敛散性。
?1f(x)dx
七．（10分）设函数列?fn(x)?在区间?a,b?上满足Lipschtz条件，即 f(x)?f(y)?Cnx?y.?x,y??a,b?.
其中Cn为与x,y无关的常数。证明：如果?Cn?为有界数列，而且在?a,b?上?fn(x)?收敛于函数f(x)，则?fn(x)?在?a,b?上一致收敛于函数f(x).
八．（15分）由方程2x2?y2?z2?2xy?2x?2y?4z?4?0所确定的函数z?z(x,y)的极值.
九．（10分）曲线L是xy平面上的任意闭曲线，L所围成的面积为S，且在曲线L上满足条件
dyey?2x?3y??x. dxe?x?yyxedx?edy，其中L取逆时针方向. 试求?L十．（15分）计算积分I???Dx?ydxd，y其中D是由
x?y?1,x?0,y?所围成的区域0.
十一．（15分）计算积分
I???Sxdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z322?.
其中S为任意光滑闭曲面.
湖南大学2006年数学分析
一（16分）设f(x)在?0,???内可微并且满足不等式
0?f(x)?ln?(2x?1)(1?x2?x)?????x?(0,??).
??证明：存在一点??(0,??)使得
f'(?)?21?.
21?2?1??10二（16分）设m,n为自然数，计算积分?tn(lnt)mdt.
三（16分）设f(x)在(??,??)上具有二阶导数且
f'x(??)?，0limf'(x)???0,又存在一点x0，使f''(x)?0,limx???x???f(x0)?0.证明方程f(x)?0在(??,??)上有且只有两个实根.
四（16分）令?an?和??n?为正数数列，假设lim?n?0，且在(0,1)n???中有一个数c使得对每个n有
an?1?can??n
成立，证明：liman?0.
n??五．（16分）令?fn(x)?为定义在(??,??)上的可导函数列，且存在常数M?0，对所有的n和x?(??,??)有
fn'(x)?M
成立.假设对x?(??,??)，有
n???limfn(x)?g(x)，
则g(x)在(??,??)上连续.
?1?2x2六（18分）已知?2?.设f(x)??2,(0?x?1).求证当
6n?1nn?1n?