§8.6 空间向量及其运算
最新考纲 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置. 2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示. 3.了解空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算. 4.了解空间两点间的距离公式、向量的长度公式及两向量的夹角公式. 考情考向分析 本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力.
1.空间向量的有关概念
名称 零向量 单位向量 相等向量 相反向量 共线向量 共面向量
2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理
空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理
共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量. (3)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p
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概念 模为0的向量 长度(模)为1的向量 方向相同且模相等的向量 方向相反且模相等的向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 平行于同一个平面的向量 表示 0 a＝b a的相反向量为－a a∥b ＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角
→→
已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹π
角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记
2作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
数量积 共线 垂直 模 夹角
概念方法微思考
向量表示 坐标表示 a·b a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0 (a≠0，b≠0) |a| 〈a，b〉 (a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 22a21＋a2＋a3 cos〈a，b〉＝a1b1＋a2b2＋a3b3 2222a2b21＋a2＋a3·1＋b2＋b31.共线向量与共面向量相同吗？
提示 不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量. 2.零向量能作为基向量吗？
提示 不能.由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故零向量不能作为基向量.
3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？
提示 无关.这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标
2
系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a，b共面.( √ )
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c).( × ) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( × ) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( × ) →→→→
(5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0.( √ ) (6)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.( × ) 题组二 教材改编
→
2.[P97A组T2]如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若AB＝a，→
AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是( )
→→
11
A.－a＋b＋c
2211
C.－a－b＋c
22答案 A
→→→→1→→解析 BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)
2111
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
222
3.[P98T3]正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________. 答案
2
11
B.a＋b＋c 2211
D.a－b＋c 22
→2→2→→→2
解析 |EF|＝EF＝(EC＋CD＋DF)
→2→2→2→→→→→→＝EC＋CD＋DF＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)
＝1＋2＋1＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2， →
∴|EF|＝2，∴EF的长为2. 题组三 易错自纠
3
2
2
2
4.在空间直角坐标系中，已知A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是( ) A.垂直 C.异面 答案 B
→→
解析 由题意得，AB＝(－3，－3，3)，CD＝(1，1，－1)， →→→→
∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD. 5.已知a＝(2，3，1)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，则|b|＝________. 答案 26
解析 ∵a⊥b，∴a·b＝2×(－4)＋3×2＋1·x＝0， ∴x＝2，∴|b|＝?－4?＋2＋2＝26.
→3→1→→
6.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且OP＝OA＋OB＋tOC，若P，A，B，C四点共
48面，则实数t＝______. 1
答案
8
311
解析 ∵P，A，B，C四点共面，∴＋＋t＝1，∴t＝.
488
2
2
2
B.平行 D.相交但不垂直
题型一 空间向量的线性运算
→→→
例1 如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设AA1＝a，AB＝b，AD＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
→(1)AP； →→(2)MP＋NC1.
解 (1)因为P是C1D1的中点， →→→→所以AP＝AA1＋A1D1＋D1P
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