15 函数模型及其应用
知识梳理
1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2.三种函数模型性质比较 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的单调增函数 增函数 增函数 性 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 随着x的增大，图象随着x的增大，图象随n值变化而各有不图象的变化 与y轴接近平行 与x轴接近平行 同 要点整合：理解解决实际应用问题的一般步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：
题型一．函数模型的选择
例1.某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，某地区未成年人，从1岁到16岁的年龄x(岁)与身高y(米)的散点图如图，则该关系较适宜的函数模型为( )
A．y＝ax＋b B．y＝a＋logbx C．y＝a·bx D．y＝ax2＋b 解析： 根据散点图可知，较适宜的函数模型为y＝a＋logbx，故选B. [答案] B
选择函数模型的基本思想
(1)根据数据描绘出散点图；
(2)将散点根据趋势“连接”起来，得到大致走势图象； (3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比，选择最佳函数模型．但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合．
变式1．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合( )
A．y＝ax＋b B．y＝a＋bx C．y＝a·bx D．y＝ax2＋bx＋c 解析：选B.根据散点图知，选择y＝a＋bx最适合，故选B. 变式2．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
60 100 180 时间t 84 116 种植成本Q 116 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt. 利用你选取的函数，求：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是__________；
(2)最低种植成本是__________元/100kg.
解析：∵随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得
?a（60－120）＋m＝116，?a＝0.01，??解得 2
?a（100－120）＋m＝84，?m＝80，
∴Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100kg.
答案：(1)120 (2)80
2
题型二．函数模型的应用
1
例2. 已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－20(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
11
[解] (1)在y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)中，令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0.
2020
20k2020
由实际意义和题设条件知x>0，k>0.解以上关于x的方程得x＝≤2＝2＝1＋k1
k＋k10，当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程是10千米．
(2)∵a>0，∴炮弹可以击中目标?存在k>0，使ka－的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根，
Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0，
1
(1＋k2)a2＝3.2成立?关于k20
?k＋k＝20a>0，
a得?
a＋64kk＝>0，?a
1
2
22
12
2解得a≤6.
所以当a不超过6千米时，炮弹可以击中它．
已知函数模型求解实际问题的三个步骤
(1)根据已经给出的实际问题的函数模型，分清自变量与函数表达式的实际意义，注意单位名称，并注意相关量之间的关系．
(2)根据实际问题的需求，研究函数的单调性、最值等，从而得出实际问题的变化趋