2．基本不等式
1．基本不等式的理解
重要不等式a＋b≥2ab和基本不等式
2
2
a＋b2
≥ab，成立的条件是不同的．前者成立的
条件是 a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，
a＋bb≥0仍然能使≥ab成立．
2
两个不等式中等号成立的充要条件都是a＝b. 2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a＋b≥(2)ab≤
2
2
a＋b2；
2
；
a2＋b2
2
(3)ab≤??a＋b?2；
??2?
2
2
?a＋b?2≤a＋b； (4)??2?2?
(5)(a＋b)≥4ab.
2
利用基本不等式证明不等式 已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 111
求证：＋＋≥9.
abc 解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明． 法一：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， 111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＋＝＋＋ abcabc＝3＋＋＋＋＋＋ bcacabaabbccba??ca??cb??＝3＋?＋?＋?＋?＋?＋? ?ab??ac??bc?
≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 111
即＋＋≥9.
abc法二：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， 111?111?∴＋＋＝(a＋b＋c)?＋＋?
abc?abc?
＝1＋＋＋＋1＋＋＋＋1
bcaaabcabbcc?ba??ca??cb?＝3＋?＋?＋?＋?＋?＋?
?ab??ac??bc?
≥3＋2＋2＋2＝9，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 111
∴＋＋≥9.
abc
用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．
x2x2x2231
1．已知x1，x2，x3为正实数，若x1＋x2＋x3＝1，求证：＋＋≥1.
x1x2x3
x2x2x2231
证明：因为x1，x2，x3为正实数，所以＋x1＋＋x2＋＋x3≥2x2x2x22＋23＋21＝2(x1
x1x2x3
＋x2＋x3)＝2，当且仅当x1＝x2＝x3时，等号成立．
x2x2x2231
所以＋＋≥1.
x1x2x3
a2b2c2
2．已知a，b，c>0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
bcaa2b2c2
证明：∵a，b，c，，，均大于0，
bcaa2
又＋b≥2 b2
2
a2b2
·b＝2a，＋c≥2 bc2
b2c2
·c＝2b，＋a≥2 cac2
·a＝2c， a?a??b??c?∴?＋b?＋?＋c?＋?＋a?≥2(a＋b＋c)． ?b??c??a?
a2b2c2
即＋＋≥a＋b＋c. bca
a2b2c2
当且仅当＝b，＝c，＝a，即a＝b＝c时，等号成立.
bca 利用基本不等式求最值 (1)求当x>0时，f(x)＝
2x的值域； x＋1
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(2)设0 219 (3)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值． xy 根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值． (1)∵x>0，∴f(x)＝ 2x2 ＝. x＋11 x＋ 2 x111∵x＋≥2，∴0<≤. x12 x＋x∴0 (2)∵0 2 2x的值域为(0,1]． x＋1 2 ?2x＋ ∴y＝4x(3－2x)＝2≤2??－2x?29 ?＝2. 2? 3 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立． 49 ∴y＝4x(3－2x)的最大值为. 219 (3)∵x>0，y>0，＋＝1， xyy9x?19?∴x＋y＝?＋?(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16. ?xy? yxyy9x19 当且仅当＝，又＋＝1， xxy即x＝4，y＝12时，上式取等号． 故当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16. 在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行： (1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)