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级数收敛的判别方法
作者：李春江
来源：《中小企业管理与科技·上旬》2010年第04期
摘要:级数理论在数学分析中占有很重要的一席之地,而级数理论中,研究无穷级数的收敛性则相当的重要。仅由收敛原理来判别级数的敛散性,在实际问题中,往往是不可行的。本文中,主要介绍了比较判别法,柯西判别法,达朗贝尔判别法,拉阿比判别法,对数判别法,双比值判别法,高斯判别法,柯西积分判别法,对于常用的判别法,本文对其有效性做了简单的比较,从而能够使读者更加深入的了解和熟悉各种判别法的使用范围。 关键词:级数 收敛 发散 判别法 有效性
1 级数的收敛性及其基本性质
我们知道,一系列无穷多个数u1,u2,u3,…un,…,写成和式u1+u2+u3+…+un…就称为无穷级数,记为un,且若级数un的部分和数列{Sn}收敛于有限值S,即则称级数un收敛,记为,un=S,也称此值S为级数的和数。若部分和数列{Sn}发散,则称un发散。
研究无穷级数的收敛问题,首先我们给出大家熟悉的收敛级数的一些基本性质[1]: 性质1 若级数un收敛,a为任意常数,则aun亦收敛,且有aun=aun。 性质2 若两个级数un和vn都收敛,则(un±vn)也收敛,且有(un±vn)=un±vn。
性质3 一个收敛级数un,对其任意项加括号后所成级数(u1+u2+…ui )+(ui +1+…ui )+…仍为收敛,且其和不变。
性质4 (收敛的必要条件)若级数un收敛,则un→0(n→∞)。
以上是收敛级数的一些最基本的性质,要指出的是,在实际问题中仅利用收敛原理来判断级数的收敛性,往往是相当困难的,所以在级数的理论中还必须建立一系列的判别法,利用它们就可以简便地来判别相当广泛的一类级数的收敛性,建立和总结这些判别法,就是本文的中心任务。 2 正项级数的收敛性判别
一般的数项级数,它的各项可以是正数,负数或零。现在我们讨论各项都是正数或零的级数,这种级数称为正项级数。本文将就正项级数的收敛判别方法做一总结,
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若级数un=u1+u2+…+un…是一个正项级数(uk>0),它的部分和数列{sn}是一个单调增加的数列,即s1≤s2≤…≤sk≤…。如果数列{sn}有界,即存在M>0使0≤SK≤M,由单调有界数列必有极限的准则,级数un必收敛于某个s≥0,显然SK≤s≤M。反之,如正项级数un收敛于s,则limsn=s,根据数列极限存在必有界的性质知{sn}有界。所以,我们得到正项级数收敛的基本定理。 从基本定理出发,我们立即可以建立一个基本的判别法。 2.1 比较判别法
设un与vn是两个正项级数,若存在常数c>0使un≤cvn,(n=1,2,3…), 则:(i)当vn收敛时,un也收敛; (ii)当un发散时,vn也发散。 例 考察级数(1 解:因为
下面我们考虑级数的敛散性, 因其部分和
所以正项级数收敛,由比较判别法知级数(1
迄今为止,我们已经知道p一级数=1+++…++…的敛散性为:当p>1时收敛,当p≤1时发散。 利用比较判别法,把要判定的级数与几何级数比较,就可以建立两个很有用的判别法,即柯西判别法(根值法)和达朗贝尔判别法(比值法)。 2.2 柯西Cauchy判别法(根值法)
设un是正项级数,若从某一项起,(即存在N,当n>N时)成立着 (q为某确定的常数),则级数un收敛;若从某一项成立着≥1,则级数un发散。 例 判别正项级数的敛散性: 解:因为
由Cauchy判别法知级数收敛。 2.3 达朗贝尔D’Alembert判别法(比值法)
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设un是严格正项级数,且从某一项起成立≤q 例 讨论级数xn=++++++…的敛散性. 解: 因为
由Cauchy判别法知级数收敛,但如果用D’Alembert判别法 因为,
从而不能判定。也就是说,根值判别法的适用范围较之比值判别法要广。但对某些级数而言,两者都能用,且比值判别法可能比根值判别法更方便。
但这两种判别法对诸如这样简单的级数都是无能为力的,从而在应用上有很大的局限性。下面我们再引入几种判别法。以p-级数为标准建立起来的判别法及其有效性比较。 2.4 拉阿比Raabe判别法
设un是正项级数,且存在某正整数N及常数r,若对一切n>N, (i)成立不等式,则级数un收敛; (ii)成立不等式 ,则级数un发散。 例 判断级数 的敛散性 解:设un= ,则
也就是说,此时Cauchy判别法与D’Alembert判别法都不适
用,如果使用Raabe判别法,可得 ,所以级数收敛。
注:在Raabe判别法中,如果S=1,在我们给出的定理中未作任何一般性的结论,对此临界情形,需要更精细的判别尺度,例如以 (p≠1)作为比较的标准。