第四、五章习题
1、 已知连续型随机变量X的概率密度为 f(x)?12?e?x?2x?1
试求X的数学期望和方差。
2. 设随机变量X与Y相互独立，且X~N(1,2)，Y~N(0,1)，求Z=2X?Y+3的概率密度。 3. 已知随机变量X的概率密度为
??? f(x)?????a2?e?x222?2?ae?x2??xx?0
x?0a2?e8其中常数a>0，?>0未知，且知E(X)=1。求常数a，?。 4. 设X，Y是两个互相独立且均服从正态分布N(0,(12))的随机变量，求E(|X-Y|)，D(|X-Y|)。
25. 现有n个袋子，每袋装有a只白球和b只黑球(a>0，b>0)，先从第一个袋中摸出一球，记下颜色后就把它放入第二个袋中，照这种办法依次摸下去，最后从第n个袋中摸出一球，并记下颜色。若在这n次摸球中所得的白球总数为Sn，求E(Sn)。
6．袋中有N个球，其中白球数X是随机变量，且知其数学期望E(X)=n，(n?N)。今从袋中随机摸一球，求获得
白球的概率。
7．设随机变量X在[0,2]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，且X与Y相互独立，试求E(XY)，D(XY)。
?2X
8. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，求E(X+e) 9. 设随机变量X在[?1,2]上服从均匀分布, 随机变量
?1,?Y??0??1?X?0X?0 求D( Y ). X?010．已知随机变量
?e?(x?y) x?0,y?0(X,Y)~f(x,y)??
0 其他?求：E(X)，E(XY)，P(X 11. 设二维随机变量（X，Y）的密度函数为 p(x,y)?12[?1(x,y)??2(x,y)] 其中?1(x,y)，?2(x,y)都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为1/3和?1/3，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1。 （1）求随机变量X和Y的密度函数，及X与Y的相关系数； （2）问X与Y是否独立，为什么？ 12．已知随机变量X与Y分别服从N(1,3)和N(0,4),且X与Y的相关系数?XY=-1/2，设Z2 2 ?X3?Y2 (1) 求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）； (2) 求X与Z的相关系数； (3) 问X与Z是否相互独立？为什么？ 13．设随机变量X1，X2相互独立，且都服从区间[0,1]上的均匀分布，令Y = min(X1，X2)，Z = max (X1，X2)， 求EY，EZ，?YZ。 14 随机变量X在[0,2?]上服从均匀分布, 又随机变量Y=cosX, Z=cos(X+a), 其中a?[0,2?]为常数，试求Y与Z 的相关系数；并讨论Y与Z的相关性和独立性。 15 二维随机变量（X，Y）在矩形G={(x, y):0< x <2, 0< y <1}上服从均匀分布，记 U?{0,1X?YX?Y V?{0,1X?2YX?2Y 求U和V的相关系数。 16．设随机变量X与Y相互独立，X服从标准正态分布，Y服从参数?=3的泊松分布。令U=X，V=(1/2)X+bY， 求常数b使D（V）=1，且在这种情况下，计算U和V的相关系数?。 17．设X~N(0,4),Y~?（2）,?XY =1/2,求E(X+Y)2 18．设随机变量X和Y的数学期望分别为2和?2，方差分别为1和4，而相关系数为?0.5。试根据切比雪夫不等 式估计P(|X+Y|?6)之值。 19．假设X1,…,Xn是来自总体X的样本，已知E(Xk)=ak,(k =1, 2, 3, 4)，证明当n充分大时，随机变量 Zn?1nn?i?1Xi近似服从正态分布，并指出其分布参数。 2 20. 假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为50克，标准差为5克。求 （1） 100个螺丝钉一袋的重量超过5.1千克的概率； （2） 每箱螺丝钉装有500袋，500袋中最多有4%的重量超过5.1千克的概率。 21、某厂家的自动生产线，生产一件正品的概率为p(0 本为c元，正品的价格为s元，次品不能出售。这样，厂家生产一件正品获利s－c元，生产一件次品亏损c元（假定每个产品的生产过程是相互独立的）。若生产了N件产品，问厂家所获利润的期望值是多少？