mvdv??积分得
kdxx2，
12kmv??C2x ．
利用初始条件，当x = x0时，v = 0，所以C = -k/x0，因此
12kkmv??2xx0， v?2k11(?)mxx0． 证毕．
即
[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积分即可求解．
12dxmv??k?xn．
如果f(x) = -k/xn，则得212mv??klnx?C2（1）当n = 1时，可得
x12mv?kln0x， 利用初始条件x = x0时，v = 0，所以C = lnx0，因此 22kx0lnmx． 即
12k1?nk1?nmv??x?CC??x01?nn?1（2）如果n≠1，可得2．利用初始条件x = x0时，v = 0，所以，
12k11mv?(n?1?n?1)n?1xx0， 因此 2v?v?即
2．9 一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：
（1）小球速率随时间的变化关系v(t)； （2）小球上升到最大高度所花的时间T．
[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程
2k11(n?1?n?1)(n?1)mxx0． 当n = 2时，即证明了本题的结果．
dvdt，
dvmd(mg?kv)dt??m??mg?kvkmg?kv， 分离变量得f??mg?kv?mmln(mg?kv)?Ck积分得．
mC?ln(mg?kv0)k当t = 0时，v = v0，所以，
mmg?kvmmg/k?vt??ln??lnkmg?kv0kmg/k?v0， 因此
t??小球速率随时间的变化关系为
v?(v0?mgktmg)exp(?)?kmk．
（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为
T?kvmmg/k?v0mln?ln(1?0)kmg/kkmg．
[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤： 由于v = dx/dt，所以
dx?[(v0?即
mgktmg)exp(?)?]dtkmk，
dx??m(v0?mg/k)ktmgdexp(?)?dtkmk，
积分得
x??m(v0?mg/k)ktmgexp(?)?t?C`kmk， C`?m(v0?mg/k)k，
当t = 0时，x = 0，所以
因此
x?m(v0?mg/k)ktmg[1?exp(?)]?tkmk．
（2）如果小球以v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为
f?mg?kv?mdvdt，
用同样的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为
v?mgmgkt?(?v0)exp(?)kkm．
这个公式可将上面公式中的g改为-g得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数vm =
mg/k．
2．10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，求此后时刻t物体的速率以及从A点开始所经过的路程．
[解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即 A v0 2
N = mv/R．
R 物体所受的摩擦力为f = -μkN，
负号表示力的方向与速度的方向相反．
图2.10 根据牛顿第二定律得
?kv2dvdvdt??2f???km?mv． Rdt， 即 ： R?k1t??Cv积分得：R．
1C??v0， 当t = 0时，v = v0，所以
v011t??v?vv0．解得 1??kv0t/R． 因此 R由于
?kdx?v0dtRd(1??kv0t/R)?1??kv0t/R?k1??kv0t/R， x?Rln(1?积分得
?kv0tR?k)?C`，
x?R当t = 0时，x = x0，所以C = 0，因此．
2．11 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．
ω [解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为
珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F = mgtgθ．
珠子做圆周运动的半径为r = Rsinθ． 根据向心力公式得F = mgtgθ = mω2Rsinθ，
θ R 可得
r m mg?kln(1??kv0tR)cos?解得
?R?2，
???arccosgR?2．
mg
图2.11
(二)力学中的守恒定律
2．12 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx，而位移x = Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t = 0到t = π/2ω的时间间隔内弹力予小球的冲量．
[解答]方法一：利用冲量公式．
根据冲量的定义得dI = Fdt = -kAcosωtdt， 积分得冲量为 F m I??π/2?0(?kAcos?t)dtπ/2?，
??kA?sin?t0??kAO x 图2.12 x 方法二：利用动量定理．
小球的速度为v = dx/dt = -ωAsinωt，
设小球的质量为m，其初动量为p1 = mv1 = 0， 末动量为p2 = mv2 = -mωA，
小球获得的冲量为I = p2 – p1 = -mωA， 可以证明k =mω2，因此I = -kA/ω．
2．13一个质量m = 50g，以速率的v = 20m·s-1作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？
Δp p1 [解答]小球动量的大小为p = mv，
p2 但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义
p1 ?
m R ???????p?p2?p1 得：p2?p1??p，
由此可作矢量三角形，可得：?p?2p?2mv．
因此向心力给予小球的的冲量大小为I??p= 1.41(N·s)．
[注意]质点向心力大小为F = mv2/R，方向是指向圆心的，其方向在 不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量
v2TI?Ft?mR4
2?R/TT??mv?mvR42．
假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R运动，拉力的大小就是向心力
F = mv2/R = mωv， 其分量大小分别为 y Fx = Fcosθ = Fcosωt，
Fx m Fy = Fsinθ = Fsinωt，
给小球的冲量大小为 F Fy dIx = Fxdt = Fcosωtdt，
O dIy = Fydt = Fsinωtdt， R x 积分得 Ix??T/40Fcos?tdt??mvFT/4?sin?t0
?F?，
Iy???FT/40Fsin?tdt??，
FT/4?cos?t0
??mv合冲量为
，
与前面计算结果相同，但过程要复杂一些．
2．14 用棒打击质量0.3kg，速率等于20m·s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？
[解答]球上升初速度为vy?22?v?vx?vy22I?Ix?Iy?2mv2gh= 14(m·s-1)，
Δv 其速度的增量为= 24.4(m·s-1)． vy
棒给球冲量为I = mΔv = 7.3(N·s)，
对球的作用力为（不计重力）：F = I/t = 366.2(N)．
vx
2．15 如图所示，三个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在一起，放在
光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动后，经多长时间C也开始运动？C开始运动时的速度是多少？（取g = 10m·s-2）
[解答]物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程
C B Mg – T = Ma，
物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，
A 图2.15