武昌区2018届高三年级元月调研考试
理科数学参考答案及评分细则
一、选择题： 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 C 6 A 7 D 8 A 9 A 10 C 11 C 12 D 二、填空题：
13. 2 14. 180 15.
4 16. 100 3三、解答题： 17．（12分） 解析：（1）由正弦定理，知2sinBcosC?2sinA?sinC， 由A?B?C??，得2sinBcosC?2sin(B?C)?sinC，
化简，得2sinBcosC?2(sinBcosC?cosBsinC)?sinC，即2cosBsinC?sinC?0. 1因为sinC?0，所以cosB??.
2因为0?B??，所以B?2?. ......................................6分 3（2）由余弦定理，得b2?a2?c2?2accosB，即b2?(a?c)2?2ac?2accosB， 因为b?2，a?c?5，所以，22?(5)2?2ac?2accos2?，即ac?1. 31133所以，S?ABC?acsinB??1?. ......................................12分 ?222418．（12分） 解析：（1）取AC的中点O，连接BO，PO.
因为ABC是边长为2的正三角形，所以BO⊥AC，BO=3.
1因为PA⊥PC，所以PO=AC?1.
22
因为PB=2，所以OP+OB2==PB2，所以PO⊥OB. 因为AC，OP为相交直线，所以BO⊥平面PAC.
又OB?平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC． ......................................6分 （2）因为PA=PB，BA=BC，所以?PAB≌?PCB. P 过点A作AD?PB于D，则CD?PB.
所以?ADC为所求二面角A﹣PB﹣C 的平面角. 因为PA=PC，PA⊥PC，AC=2，所以PA?PC?2. 在?PAB中，求得AD?77，同理CD?. 22A B C
高三理科数学试题 第6页（共10页）
AD2?CD2?AC21在?ADC中，由余弦定理，得cos?ADC???.
2AD?CD7所以，二面角A﹣PB﹣C的余弦值为?19．（12分）
1． ......................................12分 772?(16?8?28?20)2解析：（1）由计算可得K的观测值为k??8.416．
44?28?36?36
2因为P(K2?7.879)?0.005，而8.416?7.789
所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“性别与读营养说明之间有关系”.
......................................4分 （2）?的取值为0，1，2.
211C2095C8C2080C822P(??0)?2?. ，P(??1)?2?，P(??2)?2?C28189C28189C2827?的分布列为
? 0 95 1891 80 1892 2 27P ?的数学期望为E??0?95?1?80?2?2?4. ......................................12分
18918927720．（12分）
?1?2?a?解析：（1）由题意，知??c???a1?1,4b22,22??a?2,考虑到a?b?c，解得?2
?b?1.?222x2所以，所求椭圆C的方程为?y2?1. ......................................4分
2x2（2）设直线l的方程为y?kx?m，代入椭圆方程?y2?1，
2整理得(1?2k2)x2?4kmx?2(m2?1)?0.
由??(4km)2?8(1?2k2)(m2?1)?0，得2k2?m2?1. ① 4km2(m2?1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1?x2??，x1x2?.
1?2k21?2k2yy因为F(?1,0)，所以kAF1?1，kAF1?2.
x2?1x1?1因为2k?y1y2?，且y1?kx1?m，y2?kx2?m， x1?1x2?1高三理科数学试题 第7页（共10页）
所以(m?k)(x1?x2?2)?0.
因为直线AB：y?kx?m不过焦点F(?1,0)，所以m?k?0， 所以x1?x2?2?0，从而?由①②得2k2?(k?4km1，即. ② ?2?0m?k?1?4k22k122. ③ )?1，化简得|k|?2k2|k?m|1?k2|2k??焦点F2(1,0)到直线l：y?kx?m的距离d?11|2?22k?2k. 211?k?1k2令t?12?1，由知t?(1,3). |k|?k22t2?313于是d?2?(t?).
t2t13考虑到函数f(t)?(t?)在[1,3]上单调递减，
2t所以f(3)?d?f(1)，解得3?d?2. ......................................12分 21．（12分）
解析：（1）f?(x)?ex?2?a.
当a?0时，f?(x)?0，函数f(x)在(??,??)上单调递增； 当a?0时，由f?(x)?ex?2?a?0，得x?2?lna.
若x?2?lna，则f?(x)?0，函数f(x)在(2?lna,??)上单调递增；
若x?2?lna，则f?(x)?0，函数f(x)在(??,2?lna)上单调递减. .........................4分
（2）（ⅰ）由（1）知，当a?0时，f(x)单调递增，没有两个不同的零点. 当a?0时，f(x)在x?2?lna处取得极小值. 由f(2?lna)?elna?a(2?lna)?0，得a?. 易知，
下证：a?时，令有
==
，
（因
高三理科数学试题 第8页（共10页）
1e1e，.
）
故所以，
于是存在，，且
1e
，使得
.
所以a的取值范围为(,??).
（ⅱ）由ex?2?ax?0，得x?2?ln(ax)?lna?lnx，即x?2?lnx?lna. 所以x1?2?lnx1?x2?2?lnx2?lna.
1. x当x?1时，g?(x)?0；当0?x?1时，g?(x)?0.
令g(x)?x?2?lnx，则g?(x)?1?所以g(x)在(0,1)递减，在(1,??)递增，所以0?x1?1?x2. 要证x1?x2?2，只需证x2?2?x1?1.
因为g(x)在(1,??)递增，所以只需证g(x2)?g(2?x1).
因为g(x1)?g(x2)，只需证g(x1)?g(2?x1)，即证g(x1)?g(2?x1)?0. 11令h(x)?g(x)?g(2?x)，0?x?1，则h?(x)?g?(x)?g?(2?x)?2?(?).
x2?x11111??[x?(2?x)](?)?2，所以h?(x)?0，即h(x)在(0,1)上单调递减. x2?x2x2?x所以h(x)?h(1)?0，即g(x1)?g(2?x1)?0，
因为
所以x1?x2?2成立. ......................................12分 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 解析：（1）∵ρsin2α﹣2cosα=0，∴ρ2sin2α=4ρcosα， ∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x． 由??x?2t?1,消去t，得x?y?1.
y?2t,?∴直线l的直角坐标方程为x?y?1?0． ......................................5分 （2）点M（1，0）在直线l上，
?2t,?x?1??2设直线l的参数方程?（t为参数），A，B对应的参数为t1，t2．
2?y?t,?2?将l的参数方程代入y2=4x，得t2?42t?8?0. 于是t1?t2?42，t1t2??8.
∴|MA|?|MB|?|t1t2|?8. ......................................10分
高三理科数学试题 第9页（共10页）
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
解析：（1）由题意知|x?2|?|x?a|?3?0恒成立. 因为|x?2|?|x?a|?|(x?2)?(x?a)|?|a?2|，
所以|a?2|?3，解得a??5或a?1. ......................................5分 （2）因为m?n?2（m?0,n?0)，
21m?n2112nm1???(?)?(??3)?(22?3)， mn2mn2mn2213即?的取值范围为[2?,??)． ......................................10分 mn2
所以
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