华中科技大学复变函数与积分变换试题及解答 2006.11
系别___________班级__________学号__________姓名___________
题号 得分
一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分
得分
1．的值为，主值为 .
评卷人 一、填空题（每小题3分，共24分） 2．；且所表示的平面点集是区域吗？ 是 ，单连域还是多连域？ 单连域 。 3． 0 。
4．在映射下，集合的像集为：
.
5．为的 1 阶极点。
6．在 处展开成Taylor级数的收敛半径为 . 7．的频谱密度函数 。 8．已知，其中，则。
二、（6分）设a、b是实得分 评卷人 数，函数在复平面解析，则分别求a、b之值，并求.
解：是复平面上的解析函数，则在平面上满足C—R方程，即：
故 对 成立，
三、（8分）验证是z平面得分 评卷人 上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使.
解：（1） 故是调和函数。
（2）利用C—R条件，先求出的两个偏导数。 则
由 故
得分
1．，设C为正向圆周。
评卷人 四、（6×4=24分）计算下列各题： 解：令 ，则由高阶求导公式得： 原式 2．，C为正向圆周。
解: 在C内，有本性奇点，由留数定理：原式 在 内将 展为Laurent级数：
故：
3．
解：由于是偶函数，故 原式 令
则定积分可化为复积分