北京市西城区2014－2015学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. i是虚数单位，若复数z满足iz?3＋4i，则z等于（ ） A. 4＋3i
B. 4－3i
C. －3＋4i
D. －3－4i
2. 在(1?x)n的展开式中，只有第4项的系数最大，则n等于（ ） A. 4
22 B. 5 C. 6 D. 7
3. 若An?4Cn?1，则n的值为（ ） A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
4. 已知f(x)?A. 0
1，则f?(1)＝（ ） x
eB. 1 C. －1 D. －2
5. 计算定积分A. e?1
1(1??1x)dx＝（ ）
B. e
C. e?1
D. 1?1 e6. 在一段线路中并联着两个独立自动控制的开关，只要其中一个开关能够闭合，线路就可以正常工作。设这两个开关能够闭合的概率分别为0.5和0.7，则线路能够正常工作的概率是（ ）
A. 0.35
B. 0.65
C. 0.85
D.
5 77. 从0，1，2，3，4中选取三个不同的数字组成一个三位数，其中偶数有（ ） A. 30个
B. 27个
C. 36个
D. 60个
8. 函数f(x)?x?2cosx在[0,?]上的极小值点为（ ） A. 0
B.
?6 C.
5? 6 D.
?
9. 甲、乙两人分别从四种不同品牌的商品中选择两种，则甲、乙所选的商品中恰有一种品牌相同的选法种数是（ ）
A. 30
B. 24
C. 12
D. 6
10. 已知函数f(x)?x，给出下列结论： ex①(1,??)是f(x)的单调递减区间；
1
②当k?(??,)时，直线y?k与y?f(x)的图象有两个不同交点； ③函数y?f(x)的图象与y?x2?1的图象没有公共点。 其中正确结论的序号是（ ） A. ①②③
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上。 11. 函数f(x)?x3的图象在点(1,f(1))处切线的斜率是___________。 12. 设(1?2x)5?a0?a1x???a4x4?a5x5，则a0＝____________；
B. ①③
C. ①②
D. ②③
1ea0?a1?a2?a3?a4?a5?_____________。
13. 在3名男生和4名女生中任选4人参加一项活动，其中至少有1名男生的选法种数是__________。（用数字作答）
14. 设函数f(x)?ax3?x有极值，则实数a的取值范围是_________。
15. 某超市有奖促销，抽奖规则是：每消费满50元，即可抽奖一次。抽奖方法是：在不透明的盒内装有标着1，2，3，4，5号码的5个小球，从中任取1球，若号码大于3就奖励10元，否则无奖，之后将球放回盒中，即完成一次抽奖，则某人抽奖2次恰中20元的概率为___________；若某人消费200元，则他中奖金额的期望是_________元。
16. 设函数y?f(x)图象上在不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)处的切线斜率分别是kA，
kB，规定?(A,B)?|kA?kB|（|AB|为A与B之间的距离）叫作曲线y?f(x)在点A
|AB|与点B之间的“弯曲度”。
若函数y?x2图象上两点A与B的横坐标分别为0，1，则?(A,B)＝________； 设A(x1,y1),B(x2,y2)为曲线y?ex上两点，且x1?x2?1，若m??(A,B)?1恒成立，则实数m的取值范围是____________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本小题满分13分） 已知数列{an}中，a1?3,an?1?（Ⅰ）计算a2,a3,a4的值；
（Ⅱ）根据计算结果猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明。 18. （本小题满分13分）
在一次射击游戏中，规定每人最多射击3次；在A处击中目标得3分，在B，C处击
2
2an?4an?5?2(n?N*)。
中目标均得2分，没击中目标不得分；某同学在A处击中目标的概率为
1，在B，C处击3中目标的概率均为
3。 4该同学依次在A，B，C处各射击一次，各次射击之间没有影响，求在一次游戏中： （Ⅰ）该同学得4分的概率； （Ⅱ）该同学得分少于5分的概率。 19. （本小题满分13分）
已知函数f(x)??x3?ax2?4。
（Ⅰ）若a?2，求f(x)在[?1,1]上的最小值；
（Ⅱ）若f(x)在区间[0,??)上的最大值大于零，求a的取值范围。 20. （本小题满分13分）
盒中装有7个零件，其中5个是没有使用过的，2个是使用过的。
（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次，求3次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率；
（Ⅱ）从盒中任意抽取3个零件，使用后放回盒子中，设X为盒子中使用过零件的个数，求X的分布列和期望。 21. （本小题满分14分） 已知函数f(x)?ex?2ax。
（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在点（0，1）处的切线方程； （Ⅱ）若函数f(x)在区间[1,??)上的最小值为0，求a的值； （Ⅲ）若对于任意x?0,f(x)?e?x恒成立，求a的取值范围。 22. （本小题满分14分） 已知函数f(x)?lnx?121?m2x,g(x)?x?x，m?R， 令F(x)?f(x)?g(x)。22（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式F(x)?mx?1恒成立，求整数．．m的最小值；
（Ⅲ）若m??1，且正实数x1,x2满足F(x1)??F(x2)，求证：x1?x2?3?1。
【试题答案】
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
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