2020届高考数学一轮第三篇导数及其应用专题.利用导数研究函数的最值极值练习

专题3.3 利用导数研究函数的极值、最值

【考点聚焦突破】

考点一 利用导数解决函数的极值问题 角度1 根据函数图象判断函数极值

【例1-1】 已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )

A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 【答案】 D

【解析】 由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2

x>2时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.

【规律方法】 由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点. 角度2 已知函数求极值

【例1-2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). 1

(1)当a=时,求f(x)的极值;

2

(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 【答案】见解析

11112-x【解析】(1)当a=时,f(x)=ln x-x,函数的定义域为(0,+∞)且f′(x)=-=,

22x22x令f′(x)=0,得x=2,

于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表.

x (0,2) 2 (2,+∞) 1

f′(x) f(x) + 0 - ln 2-1 故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2)=ln 2-1,无极小值. (2)由(1)知,函数的定义域为(0,+∞), 11-axf′(x)=-a=(x>0).

xx当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,

即函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;

?1?当a>0时,当x∈?0,?时,f′(x)>0,

?

a?

?1?当x∈?,+∞?时,f′(x)<0,

?a?

1

故函数在x=处有极大值.

a综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点, 1

当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,且为x=.

a【规律方法】 运用导数求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤:(1)先求函数y=f(x)的定义域,再求其导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的根;(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意:导数为零的点不一定是极值点.

角度3 已知函数的极(最)值求参数的取值

【例1-3】 (2019·泰安检测)已知函数f(x)=ln x. (1)求f(x)图象的过点P(0,-1)的切线方程;

(2)若函数g(x)=f(x)-mx+存在两个极值点x1,x2,求m的取值范围. 【答案】见解析

1

【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=.

mxx1

设切点坐标为(x0,ln x0),则切线方程为y=x+ln x0-1.

x0

把点P(0,-1)代入切线方程,得ln x0=0,∴x0=1. ∴过点P(0,-1)的切线方程为y=x-1.

(2)因为g(x)=f(x)-mx+=ln x-mx+(x>0),

2

mxmx

1mx-mx-mmx-x+m所以g′(x)=-m-2==-, 22

22

xxxx令h(x)=mx-x+m,

要使g(x)存在两个极值点x1,x2,

则方程mx-x+m=0有两个不相等的正数根x1,x2.

2

2

?1?>0,1故只需满足?2m即可,解得0

?1?<0h????2m??

【规律方法】已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,要注意:(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解;(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以用待定系数法求解后必须检验.

【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若x=-2是函数f(x)=(x+ax-1)·e( ) A.-1 【答案】 A

【解析】 f′(x)=[x+(a+2)x+a-1]·e

-3

2

2

h(0)>0,

x-1

的极值点,则f(x)的极小值为

B.-2e

-3

C.5e

-3

D.1

x-1

则f′(-2)=[4-2(a+2)+a-1]·e=0?a=-1, 则f(x)=(x-x-1)·e

2

x-1

,f′(x)=(x+x-2)·e

2x-1

令f′(x)=0,得x=-2或x=1, 当x<-2或x>1时,f′(x)>0, 当-2

(2)(2018·北京卷)设函数f(x)=[ax-(4a+1)x+4a+3]e. ①若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a; ②若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围. 【答案】见解析

【解析】①因为f(x)=[ax-(4a+1)x+4a+3]e, 所以f′(x)=[ax-(2a+1)x+2]e.

2

2

2

xxx 3

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