专题3.3 利用导数研究函数的极值、最值
【考点聚焦突破】
考点一 利用导数解决函数的极值问题 角度1 根据函数图象判断函数极值
【例1－1】 已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 【答案】 D
【解析】 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2 x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值. 【规律方法】 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点. 角度2 已知函数求极值 【例1－2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). 1 (1)当a＝时，求f(x)的极值； 2 (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 【答案】见解析 11112－x【解析】(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝， 22x22x令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. x (0，2) 2 (2，＋∞) 1 f′(x) f(x) ＋ 0 － ln 2－1 故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， 11－axf′(x)＝－a＝(x>0). xx当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； ?1?当a>0时，当x∈?0，?时，f′(x)>0， ? a? ?1?当x∈?，＋∞?时，f′(x)<0， ?a? 1 故函数在x＝处有极大值. a综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点， 1 当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝. a【规律方法】 运用导数求可导函数y＝f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y＝f(x)的定义域，再求其导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点. 角度3 已知函数的极(最)值求参数的取值 【例1－3】 (2019·泰安检测)已知函数f(x)＝ln x. (1)求f(x)图象的过点P(0，－1)的切线方程； (2)若函数g(x)＝f(x)－mx＋存在两个极值点x1，x2，求m的取值范围. 【答案】见解析 1 【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝. mxx1 设切点坐标为(x0，ln x0)，则切线方程为y＝x＋ln x0－1. x0 把点P(0，－1)代入切线方程，得ln x0＝0，∴x0＝1. ∴过点P(0，－1)的切线方程为y＝x－1. (2)因为g(x)＝f(x)－mx＋＝ln x－mx＋(x>0)， 2 mxmx 1mx－mx－mmx－x＋m所以g′(x)＝－m－2＝＝－， 22 22 xxxx令h(x)＝mx－x＋m， 要使g(x)存在两个极值点x1，x2， 则方程mx－x＋m＝0有两个不相等的正数根x1，x2. 2 2 ?1?>0，1故只需满足?2m即可，解得0 ?1?<0h????2m?? 【规律方法】已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验. 【训练1】 (1)(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x＋ax－1)·e( ) A.－1 【答案】 A 【解析】 f′(x)＝[x＋(a＋2)x＋a－1]·e －3 2 2 h(0)>0， x－1 的极值点，则f(x)的极小值为 B.－2e －3 C.5e －3 D.1 x－1 ， 则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e＝0?a＝－1， 则f(x)＝(x－x－1)·e 2 x－1 ，f′(x)＝(x＋x－2)·e 2x－1 ， 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1， 当x<－2或x>1时，f′(x)>0， 当－2 (2)(2018·北京卷)设函数f(x)＝[ax－(4a＋1)x＋4a＋3]e. ①若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a； ②若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围. 【答案】见解析 【解析】①因为f(x)＝[ax－(4a＋1)x＋4a＋3]e， 所以f′(x)＝[ax－(2a＋1)x＋2]e. 2 2 2 xxx 3