专题3.3 利用导数研究函数的极值、最值
【考点聚焦突破】
考点一 利用导数解决函数的极值问题 角度1 根据函数图象判断函数极值
【例1-1】 已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是( )
A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 【答案】 D
【解析】 由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2
x>2时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
【规律方法】 由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点. 角度2 已知函数求极值
【例1-2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R). 1
(1)当a=时,求f(x)的极值;
2
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 【答案】见解析
11112-x【解析】(1)当a=时,f(x)=ln x-x,函数的定义域为(0,+∞)且f′(x)=-=,
22x22x令f′(x)=0,得x=2,
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表.
x (0,2) 2 (2,+∞) 1
f′(x) f(x) + 0 - ln 2-1 故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2)=ln 2-1,无极小值. (2)由(1)知,函数的定义域为(0,+∞), 11-axf′(x)=-a=(x>0).
xx当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
即函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;
?1?当a>0时,当x∈?0,?时,f′(x)>0,
?
a?
?1?当x∈?,+∞?时,f′(x)<0,
?a?
1
故函数在x=处有极大值.
a综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点, 1
当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,且为x=.
a【规律方法】 运用导数求可导函数y=f(x)的极值的一般步骤:(1)先求函数y=f(x)的定义域,再求其导数f′(x);(2)求方程f′(x)=0的根;(3)检查导数f′(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意:导数为零的点不一定是极值点.
角度3 已知函数的极(最)值求参数的取值
【例1-3】 (2019·泰安检测)已知函数f(x)=ln x. (1)求f(x)图象的过点P(0,-1)的切线方程;
(2)若函数g(x)=f(x)-mx+存在两个极值点x1,x2,求m的取值范围. 【答案】见解析
1
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=.
mxx1
设切点坐标为(x0,ln x0),则切线方程为y=x+ln x0-1.
x0
把点P(0,-1)代入切线方程,得ln x0=0,∴x0=1. ∴过点P(0,-1)的切线方程为y=x-1. <