分析 螺旋桨旋转时,叶片上各点的加速度不同,在其各部分两侧的张力也不同；由于叶片的质量是连续分布的,在求叶片根部的张力时,可选取叶片上一小段,分析其受力,列出动力学方程,然后采用积分的方法求解．
解 设叶片根部为原点O,沿叶片背离原点O 的方向为正向,距原点O 为r处的长为dr一小段叶片,其两侧对它的拉力分别为FＴ(r)与FＴ(r＋dr)．叶片转动时,该小段叶片作圆周运动,由牛顿定律有
dFT?FT?r??FT?r?dr??由于r ＝l 时外侧FＴ ＝0,所以有
m2ωrdr l?tFT?r?dFT??lrmω2rdr lmω2222πmn222FT?r???l?r??l?r
2ll????上式中取r ＝0,即得叶片根部的张力
FＴ0 ＝-2.79 ×105 N
负号表示张力方向与坐标方向相反．
2 -18 一质量为m 的小球最初位于如图(a)所示的A 点,然后沿半径为r的光滑圆轨道ADCB下滑．试求小球到达点C时的角速度和对圆轨道的作用力．
分析 该题可由牛顿第二定律求解．在取自然坐标的情况下,沿圆弧方向的加速度就是切向加速度aｔ,与其相对应的外力Fｔ是重力的切向分量mgsinα,而与法向加速度an相对应的外力是支持力FN 和重力的法向分量mgcosα．由此,可分别列出切向和法向的动力学方程Fｔ＝mdv/dt和Fn＝man ．由于小球在滑动过程中加速度不是恒定的,因此,需应用积分求解,为使运算简便,可转换积分变量． 倡该题也能应用以小球、圆弧与地球为系统的机械能守恒定律求解小球的速度和角速度,方法比较简便．但它不能直接给出小球与圆弧表面之间的作用力．
解 小球在运动过程中受到重力P 和圆轨道对它的支持力FN ．取图(b)所示的自然坐标系,由牛顿定律得
Ft??mgsinα?mdv (1) dtmv2Fn?FN?mgcosα?m (2)
R由v?dsrdαrdα?,得dt?,代入式(1),并根据小球从点A 运动到点C
vdtdt的始末条件,进行积分,有
?vv0vdv??α90o??rgsinα?dα
得 v?则小球在点C 的角速度为
2rgcosα
ω?v?2gcosα/r rmv2?mgcosα?3mgcosα 由式(2)得 FN?mr由此可得小球对圆轨道的作用力为
???FN??3mgcosα FN负号表示F′N 与en 反向．
2 -19 光滑的水平桌面上放置一半径为R 的固定圆环,物体紧贴环的内侧作圆周运动,其摩擦因数为μ,开始时物体的速率为v0 ,求：(1) t 时刻物体的速率；(2) 当物体速率从v0减少到12 v0时,物体所经历的时间及经过的路程．
分析 运动学与动力学之间的联系是以加速度为桥梁的,因而,可先分析动力学问题．物体在作圆周运动的过程中,促使其运动状态发生变化的是圆环内侧对物体的支持力FN 和环与物体之间的摩擦力Fｆ ,而摩擦力大小与正压力FN′成正比,且FN与FN′又是作用力与反作用力,这样,就可通过它们把切向和法向两个加速度联系起来了,从而可用运动学的积分关系式求解速率和路程．
解 (1) 设物体质量为m,取图中所示的自然坐标,按牛顿定律,有
mv2FN?man?
R
Ff??mat??dv dt由分析中可知,摩擦力的大小Fｆ＝μFN ,由上述各式可得
v2dvμ?? Rdt取初始条件t ＝0 时v ＝v 0 ,并对上式进行积分,有
?t0dt??Rvdv
μ?v0v2v?Rv0
R?v0μt(2) 当物体的速率从v 0 减少到1/2v 0时,由上式可得所需的时间为
t??物体在这段时间内所经过的路程
R μv0s??vdt??0t?t?0Rv0dt
R?v0μts?Rln2 μ2 -20 质量为45.0 kg 的物体,由地面以初速60.0 m·ｓ-1 竖直向上发射,物体受到空气的阻力为Fr ＝kv,且k ＝0.03 N/( m·ｓ-1 )．(1) 求物体发射到最大高度所需的时间．(2) 最大高度为多少？
分析 物体在发射过程中,同时受到重力和空气阻力的作用,其合力是速率v 的一次函数,动力学方程是速率的一阶微分方程,求解时,只需采用分离变量的数学方法即可．但是,在求解高度时,则必须将时间变量通过速度定义式转换为位置变量后求解,并注意到物体上升至最大高度时,速率应为零．
解 (1) 物体在空中受重力mg和空气阻力Fr ＝kv 作用而减速．由牛顿定律得
?mg?kv?m
dv (1) dt根据始末条件对上式积分,有
?t0dt??m?vv0vdv
mg?kvt?m?kv0??ln?1???6.11s k?mg??(2) 利用
dvdv?v的关系代入式(1),可得 dtdy?mg?kv?mvdv dy分离变量后积分
?y0dy???v00mvdv
mg?kv?m?mg?kv0??故 y???ln?1???v0??183m k?k?mg???讨论 如不考虑空气阻力,则物体向上作匀减速运动．由公式t?
2v0
和g
vy?0分别算得t≈6.12ｓ和y≈184 m,均比实际值略大一些．
2g2 -21 一物体自地球表面以速率v0 竖直上抛．假定空气对物体阻力的值为Fr ＝kmv2 ,其中m 为物体的质量,k 为常量．试求：(1) 该物体能上升的高度；(2)物体返回地面时速度的值．(设重力加速度为常量．)