分析 瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为
a?dvΔv和a?．在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为dtΔtΔvv2an?,a? ,式中｜Δv｜可由图(B)中的几何关系得到,而Δt 可由转
ΔtR过的角度Δθ 求出．
由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在Δt→0 时的极限值．
解 (1) 由图(b)可看到Δv ＝v2 -v1 ,故
22Δv?v1?v2?2v1v2cosΔθ
?v2(1?cosΔθ)
而
Δt?所以
ΔsRΔθ ?vvΔvv2a??2(1?cosΔθ)
ΔtRΔθ (2) 将Δθ＝90°,30°,10°,1°分别代入上式, 得
v2v2a1?0.9003,a2?0.9886
RRv2v2a3?0.9987,a4?1.000
RR以上结果表明,当Δθ→0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极
v2限值,该值即为法向加速度．
R1 -17 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r＝2.0ti ＋(19.0 -2.0t2 )j,式中r 的单位为m,t的单位为s．求：(1)质点的轨迹方程；(2) 在t1＝1.0s 到t2 ＝2.0s 时间内的平均速度；(3) t1 ＝1.0ｓ时的速度及切向和法向加速度；(4) t ＝1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ．
分析 根据运动方程可直接写出其分量式x ＝x(t)和y ＝y(t),从中消去参数t,即得质点的轨迹方程．平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化
Δr,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt→0 时,平均速度的极限即Δtdr瞬时速度v?．切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量aｔ 和an ,
dtdvt前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即at?e,后者只反映质
dt率,即v?点速度方向的变化,它可由总加速度a 和aｔ 得到．在求得t1 时刻质点的速度
v2和法向加速度的大小后,可由公式an?求ρ．
ρ解 (1) 由参数方程
x ＝2.0t, y ＝19.0-2.0t2
消去t 得质点的轨迹方程：
y ＝19.0 -0.50x2
(2) 在t1 ＝1.00ｓ 到t2 ＝2.0ｓ时间内的平均速度
v?Δrr2?r1??2.0i?6.0j Δtt2?t1(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为
v(t)?vxi?vyj?dxdyi?j?2.0i?4.0tj dtdtd2xd2ya(t)?2i?2j??4.0m?s?2j
dtdt则t1 ＝1.00ｓ时的速度
v(t)｜t ＝1ｓ＝2.0i -4.0j
切向和法向加速度分别为
att?1s?dvd2?2et?(vx?v2)e?3.58m?set ytdtdtan?a2?at2en?1.79m?s?2en
(4) t ＝1.0ｓ质点的速度大小为
2?1v?vx?v2y?4.47m?s
v2则ρ??11.17m
an1 -18 飞机以100 m·ｓ-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问：(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远？ (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？(3) 物品投出2.0ｓ后,它的法向加速度和切向加速度各为多少？
分析 物品空投后作平抛运动．忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动．到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的．因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解．
此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度．为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β．由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量vx 、vy求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得．
解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为
x ＝vt, y ＝1/2 gt2
飞机水平飞行速度v＝100 m·s-1 ,飞机离地面的高度y＝100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离
x?v(2) 视线和水平线的夹角为
2y?452m gy?12.5o xθ?arctan(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为
α?arctanvyvx?arctangt v取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别
为
gt??at?gsinα?gsin?arctan??1.88m?s?2
v??gt??an?gcosα?gcos?arctan??9.62m?s?2
v??1 -19 如图(a)所示,一小型迫击炮架设在一斜坡的底端O 处,已知斜坡
倾角为α,炮身与斜坡的夹角为β,炮弹的出口速度为v0,忽略空气阻力．求：(1)炮弹落地点P 与点O 的距离OP；(2) 欲使炮弹能垂直击中坡面．证明α和β必须满足tanβ?1并与v0 无关．
2tanα分析 这是一个斜上抛运动,看似简单,但针对题目所问,如不能灵活运用叠加原理,建立一个恰当的坐标系,将运动分解的话,求解起来并不容易．现建立如图(a)所示坐标系,则炮弹在x 和y 两个方向的分运动均为匀减速直线运动,其初速度分别为v0cosβ和v0sinβ,其加速度分别为gsinα和gcosα．在此坐标系中炮弹落地时,应有y ＝0,则x ＝OP．如欲使炮弹垂直击中坡面,则应满足vx ＝0,直接列出有关运动方程和速度方程,即可求解．由于本题中加速度g 为恒矢量．故第一问也可由运动方程的矢量式计算,即r?v0t?12gt,做出2炮弹落地时的矢量图［如图(B)所示］,由图中所示几何关系也可求得OP (即图中的r 矢量)．
(1)解1 由分析知,炮弹在图(a)所示坐标系中两个分运动方程为