第五版大学物理上册答案(马文蔚)

分析 瞬时加速度和平均加速度的物理含义不同,它们分别表示为

a?dvΔv和a?.在匀速率圆周运动中,它们的大小分别为dtΔtΔvv2an?,a? ,式中|Δv|可由图(B)中的几何关系得到,而Δt 可由转

ΔtR过的角度Δθ 求出.

由计算结果能清楚地看到两者之间的关系,即瞬时加速度是平均加速度在Δt→0 时的极限值.

解 (1) 由图(b)可看到Δv =v2 -v1 ,故

22Δv?v1?v2?2v1v2cosΔθ

?v2(1?cosΔθ)

Δt?所以

ΔsRΔθ ?vvΔvv2a??2(1?cosΔθ)

ΔtRΔθ (2) 将Δθ=90°,30°,10°,1°分别代入上式, 得

v2v2a1?0.9003,a2?0.9886

RRv2v2a3?0.9987,a4?1.000

RR以上结果表明,当Δθ→0 时,匀速率圆周运动的平均加速度趋近于一极

v2限值,该值即为法向加速度.

R1 -17 质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为r=2.0ti +(19.0 -2.0t2 )j,式中r 的单位为m,t的单位为s.求:(1)质点的轨迹方程;(2) 在t1=1.0s 到t2 =2.0s 时间内的平均速度;(3) t1 =1.0s时的速度及切向和法向加速度;(4) t =1.0s 时质点所在处轨道的曲率半径ρ.

分析 根据运动方程可直接写出其分量式x =x(t)和y =y(t),从中消去参数t,即得质点的轨迹方程.平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化

Δr,它与时间间隔Δt 的大小有关,当Δt→0 时,平均速度的极限即Δtdr瞬时速度v?.切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量at 和an ,

dtdvt前者只反映质点在切线方向速度大小的变化率,即at?e,后者只反映质

dt率,即v?点速度方向的变化,它可由总加速度a 和at 得到.在求得t1 时刻质点的速度

v2和法向加速度的大小后,可由公式an?求ρ.

ρ解 (1) 由参数方程

x =2.0t, y =19.0-2.0t2

消去t 得质点的轨迹方程:

y =19.0 -0.50x2

(2) 在t1 =1.00s 到t2 =2.0s时间内的平均速度

v?Δrr2?r1??2.0i?6.0j Δtt2?t1(3) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为

v(t)?vxi?vyj?dxdyi?j?2.0i?4.0tj dtdtd2xd2ya(t)?2i?2j??4.0m?s?2j

dtdt则t1 =1.00s时的速度

v(t)|t =1s=2.0i -4.0j

切向和法向加速度分别为

att?1s?dvd2?2et?(vx?v2)e?3.58m?set ytdtdtan?a2?at2en?1.79m?s?2en

(4) t =1.0s质点的速度大小为

2?1v?vx?v2y?4.47m?s

v2则ρ??11.17m

an1 -18 飞机以100 m·s-1 的速度沿水平直线飞行,在离地面高为100 m时,驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处,问:(1) 此时目标在飞机正下方位置的前面多远? (2) 投放物品时,驾驶员看目标的视线和水平线成何角度?(3) 物品投出2.0s后,它的法向加速度和切向加速度各为多少?

分析 物品空投后作平抛运动.忽略空气阻力的条件下,由运动独立性原理知,物品在空中沿水平方向作匀速直线运动,在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时,两方向上运动时间是相同的.因此,分别列出其运动方程,运用时间相等的条件,即可求解.

此外,平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度.为求特定时刻t时物体的切向加速度和法向加速度,只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β.由图可知,在特定时刻t,物体的切向加速度和水平线之间的夹角α,可由此时刻的两速度分量vx 、vy求出,这样,也就可将重力加速度g 的切向和法向分量求得.

解 (1) 取如图所示的坐标,物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为

x =vt, y =1/2 gt2

飞机水平飞行速度v=100 m·s-1 ,飞机离地面的高度y=100 m,由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离

x?v(2) 视线和水平线的夹角为

2y?452m gy?12.5o xθ?arctan(3) 在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为

α?arctanvyvx?arctangt v取自然坐标,物品在抛出2s 时,重力加速度的切向分量与法向分量分别

gt??at?gsinα?gsin?arctan??1.88m?s?2

v??gt??an?gcosα?gcos?arctan??9.62m?s?2

v??1 -19 如图(a)所示,一小型迫击炮架设在一斜坡的底端O 处,已知斜坡

倾角为α,炮身与斜坡的夹角为β,炮弹的出口速度为v0,忽略空气阻力.求:(1)炮弹落地点P 与点O 的距离OP;(2) 欲使炮弹能垂直击中坡面.证明α和β必须满足tanβ?1并与v0 无关.

2tanα分析 这是一个斜上抛运动,看似简单,但针对题目所问,如不能灵活运用叠加原理,建立一个恰当的坐标系,将运动分解的话,求解起来并不容易.现建立如图(a)所示坐标系,则炮弹在x 和y 两个方向的分运动均为匀减速直线运动,其初速度分别为v0cosβ和v0sinβ,其加速度分别为gsinα和gcosα.在此坐标系中炮弹落地时,应有y =0,则x =OP.如欲使炮弹垂直击中坡面,则应满足vx =0,直接列出有关运动方程和速度方程,即可求解.由于本题中加速度g 为恒矢量.故第一问也可由运动方程的矢量式计算,即r?v0t?12gt,做出2炮弹落地时的矢量图[如图(B)所示],由图中所示几何关系也可求得OP (即图中的r 矢量).

(1)解1 由分析知,炮弹在图(a)所示坐标系中两个分运动方程为

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