1.4全称量词与存在量词
（二）
教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.
教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化； 教学难点：隐蔽性否定命题的确定； 课 型：新授课 教学手段：多媒体 教学过程： 一、创设情境
数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ?”与“?”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，p?q,p?q都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。 二、活动尝试
问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。 （1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）?x?R，x2-2x+1≥0
分析：（1）?x?M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；?x?M,?p(x)
（2）?x?M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；?x?M,?p(x) （3）?x?M,p(x)，否定：?x?R，x2-2x+1<0；?x?M,?p(x) 这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题. 三、师生探究?
问题2：写出命题的否定
（1）p：? x∈R，x2＋2x+2≤0； （2）p：有的三角形是等边三角形； （3）p：有些函数没有反函数；
（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分； 分析：（1）? x?R，x2＋2x+2>0；
（2）任何三角形都不是等边三角形； （3）任何函数都有反函数；
（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；
B)?从集合的运算观点剖析：痧U(AUA?UB,痧B)?U(AUA?UB
四、数学理论
1.全称命题、存在性命题的否定
一般地，全称命题P：? x?M,有P（x）成立；其否定命题┓P为：?x∈M,使P（x）不成立。存在性命题P：?x?M，使P（x）成立；其否定命题┓P为：? x?M,有P（x）不成立。 用符号语言表示：
P:??M, p(x）否定为? P: ??M, ? P（x） P:??M, p(x）否定为? P: ??M, ? P（x）
在具体操作中就是从命题P把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定. 2.关键量词的否定 词语 是 一定是 一定不是 至少有n个 都是 不都是 大于 小于或等于 小于 大于或等于 所有x不成立 且 或 词语的否定 不是 词语 必有一个 至多有一个 所有x成立 词语的否定 一个也没有 至多有n-1个 至少有两个 存在一个x不成立 存在有一个成立 五、巩固运用
例1 写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有人都晨练； （2）p：?x?R，x2＋x+1>0； （3）p：平行四边形的对边相等； （4）p：? x∈R，x2－x+1＝0；
分析：（1）? P：有的人不晨练；（2）? x∈R，x2＋x+1≤0；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）?x?R，x2－x+1≠0； 例2 写出下列命题的否定。 （1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数x都是方程5x-12=0的根。 （3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4） 有些质数是奇数。
解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。
（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。 （3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇数。
解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。
例3 写出下列命题的否定。 （1） 若x2＞4 则x＞2.。
（2） 若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。 （3） 可以被5整除的整数，末位是0。 （4） 被8整除的数能被4整除。
（5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。
2解（1）否定：存在实数x0，虽然满足x0＞4，但x0≤2。或者说：存在小于或等于2的数x0，2满足x0＞4。（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）
2（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个x0，使x0+ x0-m=0无实数根。（原意表达：对任意实
数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。）