第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例
[最新考纲] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
1．向量的夹角
→→
已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
2．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 投影 几何意义 3.平面向量数量积的运算律 (1)交换律：a·b＝b·a；
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．
结论 模 数量积 夹角 几何表示 |a|＝a·a 坐标表示 |a|＝x1＋y1 22a·b＝|a||b|cos θ a·bcos θ＝ |a||b|a·b＝0 |a·b|≤|a||b| a·b＝x1x2＋y1y2 cos θ＝x1x2＋y1y2 222x2＋y·x＋y1122a⊥b |a·b|与|a||b|的关系 x1x2＋y1y2＝0 |x1x2＋y1y2| ≤x1＋y1·x2＋y2 [常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a－b； (2)(a±b)＝a±2a·b＋b.
2．两个向量a，b的夹角为锐角?a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角?a·b＜0且a，b不共线．
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量． (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．
(3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0. (4)(a·b)c＝a(b·c)．
[答案](1)√ (2)√ (3)× (4)× 二、教材改编
1．已知a·b＝－122，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为( ) A．12 C．33
B．6 D．3
－122
＝6.]
( ) ( ) ( )
( )
2
2
22
2
2222B [a·b＝|a||b|cos 135°＝－122，所以|b|＝
2??
4×?－??2?
2．已知|a|＝5，|b|＝4，a与b 的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为 ．
－2 [由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2.] 3．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－63，则a与b的夹角θ＝ . 5πa·b－633 [cos θ＝＝＝－. 6|a|·|b|2×625π又因为0≤θ≤π，所以θ＝.]
6
4．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝ . 8 [∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)， ∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得 (a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.]
考点1 平面向量数量积的运算 平面向量数量积的3种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用数量积的几何意义求解．
→→→→→
(1)(2019·全国卷Ⅱ)已知AB＝(2,3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC＝( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
π→→→→
(2)[一题多解]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若AB·AC＝2AB·AD，
4→→
则AD·AC＝ .
→→→
(1)C (2)12 [(1)∵BC＝AC－AB＝(1，t－3)， →2
∴|BC|＝1＋t－3∴t＝3，
→→
∴AB·BC＝(2,3)·(1,0)＝2.
→→→→→→→→→→→→
(2)法一：(定义法)因为AB·AC＝2AB·AD，所以AB·AC－AB·AD＝AB·AD，所以AB·DC＝→→AB·AD.
ππ→→→→
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2|AB|＝|AB|·|AD|cos ，化简得|AD|＝22.
44π→→→→→→2→→2
故AD·AC＝AD·(AD＋DC)＝|AD|＋AD·DC＝(22)＋22×2cos ＝12.
4
法二：(坐标法)如图，建立平面直角坐标系xAy.
2
＝1，
→→→→
依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n,0)，其中m＞0，n＞0，则由AB·AC＝2AB·AD，