答：（1）u?y，v??x ①求速度势函数：
?z???????1?1???1?0，为有旋流动，势函数?(x,y)不存在。 ??2??x?y?2②求流函数： 由于
1??v?u?1?u?v??0?0?0，满足不可压缩流体的连续方程，流函数?(x,y)存在： ?x?y?x,y??x,0??x,y??(x,y)??0,0???vdx?udy????0,0xdx??x,0??ydy?12x?y2。 2??（2）u?x?y，v?x?y ①求速度势函数：
?z??????1?1??1?0，为有旋流动，势函数?(x,y)不存在。 ??2??x?y?2②求流函数： 由于
1??v?u?1?u?v??1?1?2?0，不满足不可压缩流体的连续方程，流函数?(x,y)不存在。 ?x?y22（3）u?x?y?x，v???2xy?y? ①求速度势函数：
?z??????2??2y???2y???0，为无旋流动，势函数?(x,y)存在： 2??x?y???x,y??x,0?0,01??v?u?1?(x,y)???0,0??udx?vdy??x???2?xdx???x,y??x,0?122????2xy?ydy?x?y?2
112122?x?xy?y2x32?u?v???2x?1???2x?1??0，满足不可压缩流体的连续方程，流函数?(x,y)存在： ?x?y?x,y??x,0??x,y?②求流函数： 由于
?(x,y)??0,0???vdx?udy????0,02xydx??x,0???x21?y2?ydy?2x2y?xy?y3。
3?3-7 已知欧拉参数表示的速度分布为u?Ax，v??Ay，求流体质点的轨迹。 答：由轨迹方程
dxdy??dt，并将u?Ax和v??Ay代入得到： uv - 16 - / 62- 16 -
dx?Axdt
dy??aydt或者写成：
dx?Adtx
dy??Adty两端同时积分，得到：
lnx?At?C1lny??At?C2，即
x?C1eAty?C2e?At
3-8 已知流场的速度分布为u?x?t，v??y?t，求t?0时通过??1, 1, 1?点的流线。 答：将速度分布函数代入连续方程：
?u?v?w???0 ?x?y?z得到：
?w?0 ?z因此可知，速度分布与z坐标无关，流动为二维流动。由流函数定义式得到：
?x,y??(x,y)??vdx?udy???y?t?dx???x?t?dy??y?t?x??x?t?y。 ???????0,00,0x,0?x,0??x,y?由于流函数为常数时??C表示流线，因此流线方程为：
?y?t?x??x?t?y?C。
将将条件：当t?0，x??1、y?1代入上式，得C??2；因此该瞬时过??1, 1, 1?的流线方程为：
xy?1?0。
3-9已知平面不可压缩流体的速度分布为u?xt，v??2xyt，求t?1时过??2, 1?点的流
2线及此时处在这一空间点上流体质点的加速度和轨迹。
答：（1）求流线方程： 由于
?u?v??2xt?2xt?0，流函数?(x,y,t)存在，且为： ?x?y - 17 - / 62- 17 -
?x,y??x,0??0,0??x,y??(x,y,t)??0,0???vdx?udy??0?dx??x,0?22xtdy?xyt； ?则流线方程为：
x2yt?C；
将条件：当t?1时，x??2、y?1代入，得C?4；则该瞬时过将(?2, 1)点的流线方程为：
x2y?4。
（2）求加速度：
?u?u?u?u?v?x2?x2t?2xt???2xyt??0?x21?2xt2?t?x?y
?v?v?vay??u?v??2xy?x2t???2yt????2xyt????2xt???2xy?2x2yt2?t?x?yax???将条件：t?1时，x??2、y?1代入，得到该瞬时过将(?2, 1)点的流体质点的加速度为：
ax??12ay?12
（3）轨迹方程：
x??24。 , y?t2t2223-10 设不可压缩流体的速度分布为（1）u?ax?by?cz,v??dxy?eyz?fzx;
?y2z2??x2z2?（2）u?ln??b2?c2??,v?sin??a2?c2?? 。其中a、b、c、d、e、f为常数，试求第三个
????速度分布w。
答：（1）将速度分布代入连续方程：
?u?v?w???0，得到： ?x?y?z?w?ez??d?2a?x， ?z两端同时积分得到：
1w?x,y,z??ez2??d?2a?xz?C1?x,y?。
2（2）将速度分布代入连续方程：由于：
?u?v?w???0， ?x?y?z - 18 - / 62- 18 -
?v?u?0； ?0，?y?x因此：
?w?0 ?z两端同时积分得到：
w?x,y,z??C2?x,y?。
3-11 有一扩大渠道，已知两壁面交角为1弧度，在两壁面相交处有一小缝，通过此缝隙流出的体积流量为????t?（m/s），试求（1）速度分布；（2）t?0时壁面上r?2处的速
2??度和加速度。
答：（1）求速度分布：
设半径为r处的径向速度为vr，周向速度为v?。显然v??0，且vr?S?Q；其中：
?1?S?1?r?1?r，因此径向速度分布为：
11?1?vr?Q???t?；
rr?2?（2）求加速度：
?v?v11?1?ar?r?vr?r???3??t?；
?t?rrr?2?（3）当t?0时，在r?2处：
221?111?117?1?vr???0??，ar???3??0???。
2?222?232?4?3-12 已知不可压缩平面势流的分速度为u?3ax?3ay,?0,0?点上u?v?0，试求通过
22?0,0?及?0,1?两点连线的体积流量。
答：（1）求速度分布： 由平面不可压缩流体的连续方程
?u?v??0，得到： ?x?y?v?u????6ax， ?y?x两端同时对y积分：
v??6axy?C(x)；
将条件：在(0,0)点v?0代入上式，得到：
- 19 - / 62- 19 -
C(x)?0，
因此：
v??6axy。
流动的速度分布为：
u?3ax2?3ay2，v??6axy。
（2）求流函数：
?x,y??x,0??x,y??(x,y,t)??0,0???vdx?udy????0,00?dx??x,0???3ax2?3ay2dy?3ax2y?ay3。
?（3）求流量：
利用流函数的性质：流场中任意两点的流函数之差等于通过两点之间连线的体积流量。由于：
??0,0??0，??0,1???a；因此流量为：
Q???0,0????0,1??0???a??a。
3-13 设流场的速度分布为u?ax,v?ay,w??2az，其中a为常数。（1）求线变形速率，角变形速率，体积膨胀率；（2）问该流场是否为无旋场？若是无旋场求出速度势。 答：（1）线形变速率为：
?xx??v?u?w?a，?zz??a，?yy???2a； ?y?x?z角形变速率为：
???0，?zx????xy?????0，?yz????0； ????2??z?x?2??y?z?2??x?y?体积膨胀率为：
1??v?u?1??w?v?1??u?w??xx??yy??zz?a?a?2a?0。
（2）求速度势：
由于平均角速度的三个分量分别为：
???0， ?x?????0，?y?????0，?z??????2??z?x?2??x?y?2??y?z?因此：
1??w?v?1??u?w?1??v?u???????xi??yj??zk?0 ?即流场为无旋流场，速度势函数?存在，且为：
xyz?(x,y,z)??udx??vdy??wdz?ax2?ay2?az2。
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