第12讲 数列的递推
本节主要内容两个基本递推：a＝a＋d，a＝qa；线性递推，二阶或高阶递推的特征方程与特征根；其他递推．
n＋1
n
n
n
1．基本概念：
①递归式：一个数列{an}中的第n项an与它前面若干项an?1，an?2，?，an?k（k?n）的关系式称为递归式．
②递归数列：由递归式和初始值确定的数列成为递归数列． 2．常用方法：累加法，迭代法，代换法，代入法等． 3．思想策略：构造新数列的思想． 4．常见类型： 类型Ⅰ：??an?1?p(n)an?q(n)(p(n)?0)（一阶递归）
?a1?a(a为常数）其特例为：（1）an?1?pan?q(p?0) （2）an?1?pan?q(n)(p?0) （3）an?1?p(n)an?q(p?0)
解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列．
①形如an?1?an?q(n)的递归式,其通项公式求法为：an?a1??(ak?1?ak)?a1??q(k)
k?1k?1n?1n?1②形如an?1?p(n)an的递归式,其通项公式求法为：an?a1a2a3a1a2an?a1p(1)p(2)an?1p(n?1)
③形如an?1?pan?q(n)(p?1)的递推式,两边同除以pn?1得句可转化为①来处理. 类型Ⅱ：??an?2?pan?1?qan(p?0,q?0)（二阶递归）
?a1?a,a2?b(a,b为常数）anan?1anq(n)?bn则??,令pnpn?1pnpn?1解题方法：利用特征方程x2?px?q，求其根?、?，构造an?A?n?B?n，代入初始值求得
A,B．
①若p+q=1时，有an?1?an??q(an?an?1)可知{an?1?an}是等比数列，先求得an?1?an，再求出
an.
②若p+q≠l，则存在α，β满足an?1??an??(an?an?1)整理得an?1?(???)an???an?1从而α+β=p， αβ=q，可解出α、β，这样可先求出{an?1??an}的通项表达式，再求出an. 注意α、β实质是二次方程x2?px?q的两个根，将方程x2?px?q叫做递归式
an?2?pan?1?qan的特征方程．
在数列{an}中，给出a1, a2，且an?2?pan?1?qan ，它的特征方程x2?px?q的两根为α与β．如果α≠β，则an?A?n?B?n；如果α=β则an?(An?B)?n，其中A与B是常数，可由初始值a1,a2 求出．
类型Ⅲ. 如果递归数列{an}满足 an+1?aan?b,其中c≠0,ad-bc≠0,以及初始值a0≠f(a1),则称
can?d
此数列为分式线性递归数列.我们称方程x?ax?b的根为该数列的不动点.若该数列有两个相
cx?d异的不动点p、q，则 {an?p1}为等比数列；若该数列仅有惟一的不动点p，则{}是等an?qan?p差数列·
5.求递归数列通项的常用方法有：换元法、特征根法、数学归纳法等．
A类例题 例1 一给定函数y?f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1?(0,1)，由关系式
an?1?f(an)
得到的数列{an}满足an?1?an(n?N*)，则该函数的图象是( )(2005年辽
宁卷) y 1 O y 1 y 1 y 1 x 1 O 1 x O
1 （Ｃ）
x O
（Ｄ）
1 x （Ａ） （Ｂ） 分析 利用递推式意义及数形结合
解 由an?1?f(an)，an?1?an，得f(an)?an，即f(x)?x，故选A ． 说明 分析清楚函数值与自变量的关系，即可判断． 链接 例2已知数列{an}中a1?1，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,??． （I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式． (2004年全国高考题) 分析
解（I）a2=a1+(－1)1=0, a3=a2+31=3．a4=a3+(－1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13． (II) a2k+1=a2k+3k= a2k－1+(－1)k+3k,
kk
所以a2k+1－a2k－1=3+(－1),
－－
同理a2k－1－a2k－3=3k1+(－1)k1, ??
a3－a1=3+(－1)．
所以(a2k+1－a2k－1)+(a2k－1－a2k－3)+?+(a3－a1)
－－
=(3k+3k1+?+3)+[(－1)k+(－1)k1+?+(－1)],
由此得a2k+1－a1=
3k1(3－1)+[(－1)k－1], 223k?11?(?1)k?1. 于是a2k+1=22k3k11k－1k3?(－1)－1+(－1)=?(－1)k=1． a2k= a2k－1+(－1)=
2222k
{an}的通项公式为： 当n为奇数时，an=3n?122n2?(?1)n?12?1?1; 2当n为偶数时，an?3?(?1)2?1?1.
22n说明 链接 情景再现
1．已知数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋n－2(n≥2)，求通项an. (2004年四川省高中数学联赛)
x1x（b,c为常数），若f(2)?，且f(x)??0只有唯一实数根 bx?c22（1）求f(x)的解析式 2．设f(x)?（2）令a1?1,an?f(an?1)求数列?an?的通项公式.
B类例题 例3 (1)一次竞赛在n(n＞1)轮中共发了m枚奖章．第一轮发了1枚及余下的m －1枚的第2轮发了2枚及余下的
1，71，?，直至第n轮正好发了n枚而没有余下奖章．这个竞赛共包7括几轮?一共发了多少枚奖章?
(第9届国际数学奥林匹克)
(2)把一个圆分成n个不同的扇形(n≥2)，依次记为S1，S2，?, Sn，每个扇形都可以用红、蓝、白三种颜色中任一种涂色，要求相邻的扇形颜色互不相同，问有多少种涂法?
分析 第(1)题，每一轮发的奖章数具有一定规律，因而可以建立每一轮发的奖章数的关系或每一轮余下的奖章数的关系．第(2)题，设法建立涂法总数的递推关系和求得初始值，进而求得涂法总数．
解 (1)设竞赛进行了k轮后，余下ak枚奖章．因为第k
说明 这类试题经常在全国高中数学联赛及国际数学奥林匹克中出现．这两个问题都是用递推方法解决计数问题，希望读者对这类问题能够进行较为深入的钻研．
链接 例4 数列{an}定义如下：a1=1，an+1 =
1(1+4 an +1?24an)，求它的通项公式． 16分析 带根号的部分不好处理，容易想到作代换：令bn?1?24an
解 设bn?bn2?1,b1?5.于是原递推式可化为 1?24an,则an?24bn2?1?11bn2?1+bn) ?(1?4?241624即(2bn+1)2=(bn+3)2,由于bn、bn+1非负,所以2bn+1=bn+3. 故bn+1－3=(bn－3). 所以bn+1－3= (bn－3)()n－2 即bn?3?()n?2
11bn2?11?n 所以an?=?2n?133?2224121212说明 这是1981年IMO的预选题，解题的关键是换元、转化． 例5设{xn}、{yn}为如下定义的两个数列：x0=1，x1=1,xn+1=xn+2 xn-1，y0=1，y1=7,yn+1=2yn+3yn-1，(n=1,2,3?)，于是这两个数列的前n项为xn：1,1,3,5,11,21?, yn：1,7,17,55,161,487,?.证
明：除了“1”这项外,不存在那样的项,它同时出现在两个数列之中. (第二届美国中学生数学竞赛试题)
分析 本题题均属于线性递归数列问题，可用特征根的方法来解决． 解
说明 在求得特征方程的根以后，要依据根的重数正确写出数列通项的一般表达式，再根据初始值求得待定系数的值． 链接 例6 数列{an}满足a0=1，an?1?7an?45an2?362，n?N，证明：(1)对于任意n?N，a为