2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式课时提升作业含解析新人教A版

2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式课时提

升作业含解析新人教A版

一、选择题(每小题4分,共12分)

1.若0

B.a1a2+b1b2 D.

【解析】选A.因为0

2.(2016·商丘高二检测)设a1,a2,…,an都是正数,b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任一排列,则a1A.1 C.n

2

+a2

+…+an

的最小值为 ( )

B.n

D.无法确定

≤≥a1·

≤…≤+a2·

. +…+an·

=n,

【解析】选B.因为a1,a2,…,an都是正数,不妨设a1≤a2≤…≤an,则由题意及排序不等式知,反序和最小,所以a1即a1

+a2

+…+an

2

2

+a2+…+an

的最小值为n.

2

2

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3.已知a,b,c∈R+,则a(a-bc)+b(b-ac)+c(c-ab)的正负情况是 ( ) A.大于零 C.小于零

B.大于等于零

D.小于等于零

【解题指南】限制a,b,c的大小关系,取两数组利用排序不等式求解. 【解析】选B.设a≥b≥c>0,所以a≥b≥c, 根据排序原理,得:a×a+b×b+c×c≥ab+bc+ca. 又知ab≥ac≥bc,a≥b≥c, 所以ab+bc+ca≥abc+bca+cab. 所以a+b+c≥abc+bca+cab. 即a(a-bc)+b(b-ac)+c(c-ab)≥0. 二、填空题(每小题4分,共8分)

4.(2016·梅州高二检测)若a>0,b>0且a+b=1,则【解析】不妨设a≥b>0,则有a≥b,且≥,

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+的最小值是________.

由排序不等式+≥·a+·b=a+b=1.

+

的最小值为1.

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当且仅当a=b=时取等号,所以答案:1

5.设a,b都是正数,若P=

+

,Q=+,则二者的关系是________.

【解析】由题意不妨设a≥b>0. 由不等式的性质,知a≥b,≥.所以根据排序原理,知 ×+即

+×≥

×+

×.

2

2

≥.

≥+.

答案:P≥Q

【误区警示】本题易出现观察不等式找不出排序原理用到的两组数,并用排序不等式比较大小. 三、解答题

6.(10分)(2016·广州高二检测)已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a+b+c)≥a(b+c)+b(c+a)+c(a+b).

【证明】设正数a,b,c满足a≤b≤c,则a≤b≤c,由排序不等式得, ab+bc+ca≤a+b+c, ac+ba+cb≤a+b+c, 两式相加,得:

2(a+b+c)≥a(b+c)+b(c+a)+c(a+b).

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一、选择题(每小题5分,共10分)

1.已知x≥y,M=x+y,N=xy+xy,则M与N的大小关系是 ( ) A.M>N C.M

B.M≥N D.M≤N

4

4

3

3

【解析】选B.由排序不等式,知M≥N.

2.(2016·长沙高二检测)已知x1,x2,…,xn均为正数,A=B=x1x2+x2x3+…+xnx1.

+

+…+

,

则A与B的大小关系为 ( ) A.A>B C.A≥B

B.A

D.A≤B

【解析】选C.因为x1,x2,…,xn均为正数,不妨设 x1≤x2≤…≤xn,根据排序不等式,得 +

+…+

≥x1x2+x2x3+…+xnx1.

即A≥B.

二、填空题(每小题5分,共10分)

3.(2016·武汉高二检测)若a,b,c>0,a+b+c=3,则ab+bc+ca的最大值是________.

【解析】不妨设a≥b≥c>0,则b,c,a为乱序,于是由排序不等式知a+b+c≥ab+bc+ac,所以ab+bc+ca≤3,即ab+bc+ca的最大值为3. 答案:3

4.(2016·珠海高二检测)设a1,a2,…,an为正数,且a1+a2+…+an=5,则________.

【解析】由所求代数式的对称性,不妨设0

,≤,…,

≤…≤,

,,≥,

≥…≥,…,

,

+

+…+

+

的最小值为

2

2

2

2

2

2

的一个排列,由乱序和≥反序和,得

·++an=5,

·+…+·+·≥·+·+…+·,即++…++≥a1+a2+…

故所求最小值为5. 答案:5 三、解答题

5.(10分)设x>0,求证:1+x+x+…+x≥(2n+1)x.

【解题指南】题中只给出了x>0,但是对于x≥1,x<1并不确定,因此,需要分类讨论. 【证明】(1)当x≥1时, 1≤x≤x≤…≤x. 由排序原理知,

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n

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2n

n

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