高考数学(理 全国甲卷)大二轮总复习与增分策略配套配套文档 专题三 三角函数、解三角形与平面向量第2讲

第2讲三角变换与解三角形

3

1.(2016·课标全国丙)若tanα=,则cos2α+2sin2α等于()

4644816A.B.C.1D. 252525答案A

2

cosα+2sin2α3

解析tanα=,则cos2α+2sin2α= 224cosα+sinα

1+4tanα64==. 1+tan2α25

2.(2016·天津)在△ABC中,若AB=13,BC=3,∠C=120°,则AC等于() A.1B.2C.3D.4 答案A

解析由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC,即13=AC2+9-2AC×3×cos120°,化简得AC2+3AC-4=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).故选A. 3.(2016·上海)方程3sinx=1+cos2x在区间[0,2π]上的解为__________. π5π答案, 66

解析3sinx=2-2sin2x,即2sin2x+3sinx-2=0, 1π5π

∴(2sinx-1)(sinx+2)=0,∴sinx=,∴x=,.

266

4.(2016·江苏)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是________. 答案8

解析在△ABC中,A+B+C=π, sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C), 由已知,sinA=2sinBsinC, ∴sin(B+C)=2sinBsinC.

∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,

A,B,C全为锐角,两边同时除以cosBcosC得: tanB+tanC=2tanBtanC.

又tanA=-tan(B+C)=-=. 1-tanBtanCtanBtanC-1∴tanA(tanBtanC-1)=tanB+tanC. 则tanAtanBtanC-tanA=tanB+tanC, ∴tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC=tanA+ 2tanBtanC≥22tanAtanBtanC, ∴tanAtanBtanC≥22, ∴tanAtanBtanC≥8.

正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查:1.边和角的计算;2.三角形形状的判断;3.面积的计算;4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强,与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点,不可轻视.

tanB+tanC

tanB+tanC

热点一三角恒等变换 1.三角求值“三大类型”

“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”. 2.三角函数恒等变换“四大策略”

(1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin2θ+cos2θ=tan45°等;

(2)项的分拆与角的配凑:如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α,α=(α-β)+β等; (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次; (4)弦、切互化:一般是切化弦.

π3π

α+?=,则cos?2α-?=________. 例1(1)已知α为锐角,若cos?6??6?5?(2)已知sinα=5ππ

A.B. 123

510,sin(α-β)=-,α,β均为锐角,则角β等于() 510

ππC.D. 4624

答案(1)(2)C

25

π3

解析(1)因为α为锐角,cos(α+)=>0,

65ππ4

所以α+为锐角,sin(α+)=,

665

πππ4324

则sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=2××=.

3665525ππ

又cos(2α-)=sin(2α+),

63π24

所以cos(2α-)=. 625(2)因为α,β均为锐角, ππ所以-<α-β<.

22又sin(α-β)=-

10

, 10

310所以cos(α-β)=. 10又sinα=

525,所以cosα=, 55

所以sinβ=sin[α-(α-β)] =sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β) =

531025102×-×(-)=. 5105102

π所以β=.

4

思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角公式,三角恒等变换公式的熟记和灵活应用,要善于观察各个角之间的联系,发现题目所给条件与恒等变换公式的联系,公式的使用过程要注意正确性,要特别注意公式中的符号和函数名的变换,防止出现张冠李戴的情况.(2)求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解.

π727

α-?=跟踪演练1(1)已知sin?,cos2α=,则sinα等于() ?4?1025

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