第2讲三角变换与解三角形
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1．(2016·课标全国丙)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α等于()
4644816A.B.C．1D. 252525答案A
2
cosα＋2sin2α3
解析tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝ 224cosα＋sinα
1＋4tanα64＝＝. 1＋tan2α25
2．(2016·天津)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC等于() A．1B．2C．3D．4 答案A
解析由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A. 3．(2016·上海)方程3sinx＝1＋cos2x在区间[0,2π]上的解为__________． π5π答案， 66
解析3sinx＝2－2sin2x，即2sin2x＋3sinx－2＝0， 1π5π
∴(2sinx－1)(sinx＋2)＝0，∴sinx＝，∴x＝，.
266
4．(2016·江苏)在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________． 答案8
解析在△ABC中，A＋B＋C＝π， sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)， 由已知，sinA＝2sinBsinC， ∴sin(B＋C)＝2sinBsinC.
∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，
A，B，C全为锐角，两边同时除以cosBcosC得： tanB＋tanC＝2tanBtanC.
又tanA＝－tan(B＋C)＝－＝. 1－tanBtanCtanBtanC－1∴tanA(tanBtanC－1)＝tanB＋tanC. 则tanAtanBtanC－tanA＝tanB＋tanC， ∴tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋ 2tanBtanC≥22tanAtanBtanC， ∴tanAtanBtanC≥22， ∴tanAtanBtanC≥8.
正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算；2.三角形形状的判断；3.面积的计算；4.有关的范围问题.由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.
tanB＋tanC
tanB＋tanC
热点一三角恒等变换 1．三角求值“三大类型”
“给角求值”、“给值求值”、“给值求角”． 2．三角函数恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等；
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．
π3π
α＋?＝，则cos?2α－?＝________. 例1(1)已知α为锐角，若cos?6??6?5?(2)已知sinα＝5ππ
A.B. 123
510，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于() 510
ππC.D. 4624
答案(1)(2)C
25
π3
解析(1)因为α为锐角，cos(α＋)＝>0，
65ππ4
所以α＋为锐角，sin(α＋)＝，
665
πππ4324
则sin(2α＋)＝2sin(α＋)cos(α＋)＝2××＝.
3665525ππ
又cos(2α－)＝sin(2α＋)，
63π24
所以cos(2α－)＝. 625(2)因为α，β均为锐角， ππ所以－<α－β<.
22又sin(α－β)＝－
10
， 10
310所以cos(α－β)＝. 10又sinα＝
525，所以cosα＝， 55
所以sinβ＝sin[α－(α－β)] ＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β) ＝
531025102×－×(－)＝. 5105102
π所以β＝.
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思维升华(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．
π727
α－?＝跟踪演练1(1)已知sin?，cos2α＝，则sinα等于() ?4?1025