习 题 五 解 答
1、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。
12?xdx(n?8)(1)?，(2)?0xsinxdx(n?8) 04?x2(3)?21xdx(n?4)，(4)?e?xdx01(n?4)
1*、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。
1xdx(n?4) (1)?04?x2解：解：将区间［0，1］4等分，5个分点上的被积函数值列表如下（取2位小数）
x y 0 0 0.25 0．06 0.5 0．12 0.75 0．16 1 0．20 (1)矩形法。
用矩形法公式计算（取2位小数） bb?af(x)dx?(y0?y1???yn?1)?an
1?(0?0.06?0.12?0.16)?0.094或者
?baf(x)dx?b?a(y1?y2???yn)n?1(0.06?0.12?0.16?0.20)?0.144
(2)梯形法
用梯形法公式计算（取2位小数）： bb?a1f(x)dx?[(y0?yn)?y1?y2???yn?1)]?an2
1?[(0?0.20)?0.06?0.12?0.16]?0.114(3)抛物线法
用抛物线法公式计算（取2位小数）： bb-af(x)dx?[(y0?yn)?2(y2?y4+?+yn-2)?4(y1?y3+?+yn-1)]?a3n
1?[(0?0.2)?2?0.12?4?(0.06?0.16)]?0.1112 1
2、用复化梯形公式计算积分?84811dx，由此计算ln2（注：?dx?ln2），精度
4xx要求为10?4。
818解：?dx?ln8?ln4?ln?ln2，
4x41要求精度为10?4，即误差不超过???10?4。
28?44? 将积分区间［4，8］n等份，则步长h?nn在本题中，复化梯形公式的余项为
8?428?44216r??hf??(?)??()f??(?)??2f??(?)
1212n3n注意到 1f(x)?,f?(x)??x?2,f??(x)?2x?3，
x所以在［4，8］区间上f??(x)?2?4?3，
1616?21?3?2?8??， 3n23n2?436n211要使2??10?4，需有
6n211100?424??10?3n?10?n??n?577.367?n?578。 26n23则r?3、用复合梯形公式计算积分?f(x)dx，问将积分区间[a,b]分成多少等份，才
ab能保证误差不超过ε（不计舍入误差）？
解：对于复合梯形公式来说，如果f??(x)在积分区间上连续，则其余项为
b?a2r??hf??(?),??[a,b]，
12设M?maxf??(x)，
a?x?b(b?a)2(b?a)3M则r? hf??(?)?21212n(b?a)3M??， 令212n(b?a)3M得n?
12?(b?a)3M即当n?[]?1时，能保证计算的精度要求。
12?4、已知飞机在高度H的上升速度v(H)如下： H(km) v(km/s)
0 50.0 2 46.0 4 40.0 2
6 32.2 8 22.5 10 10.0 求从地面(H=0km)上升到H=10km高空所需要的时间?形公式与高阶牛顿—柯特斯公式) 指出：
1001dH。(分别用复合梯v(H)求给定函数的数值积分套用公式即可但须注意给出的数据表不是要求积分的函数表，要求积分的函数表为 H(km) v(km/s) 1/v
5、用龙贝格方法计算下列积分，要求误差不超过10。
?12?x(1)?edx (2)?excosxdx
0?解: (1)依次应用龙贝格积分的四个公式进行计算：
1hn-1T2n=Tn+?f(xk+)
22k=00120 50.0 2 46.0 4 40.0 6 32.2 －5
8 22.5 10 10.0 41Sn?T2n?Tn
3342S2n?SnCn? 24?143C2n-CnRn=。
43-1计算结果列表如下： i T2i S2i?1 0．7135121 0．7132870 0．7132726 C2i?2 0．7132720 0．7132717 R2i?3 0．7132717 0 1 2 3 所以?10．7717433 0．7280699 0．7169828 0．7142002 20?e?xdx?0．7132717。
86、分别用下列方法计算积分I??(I=1.098612……)： (1)复合梯形法(n=16)； (2)复合抛物线法(n=8)；
(3)龙贝格方法，求至R2； (4)三点高斯—勒让德公式。 指出：
①直接套公式计算。
11dx，并比较计算结果的精度x②计算结果的精度比较，通过各计算解和精确解比较，求出相应的误差，再比较
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