第二章 年金 部分习题参考答案 证明：
mn(1?v)?(1?v)vn?vm?(1?vm)?(1?vn)?i?i (1?vm)(1?vn)?i?[?]?i?(am??an?)ii 证明：
an-tan?StSn?an?atvant?vnatvant=an?（1-vn）atvtannn1（1-v）at1i（1-v）at1iat1?（1-vt） =t?=t?=t?t==1tttvvanvivanvvv
6. 解：由公式vman=am+n?am得：
v7a11=a18?a77.036也即：=9.180?5.1537（1+i）7
解得：i=
7.036?1=0.082999.180?5.1537. 设X可取得的存款额为S,根据题意：
S?1000S18 0.08(1?0.08)?512712?1000S18 0.08(1?0.08)712
?1000?37.45024?1.08?39169.8412. 解：根据题意，有
1000a30?1000a10v10=Ka30?Ka10v10
又由于v10=1/2，则上式经整理得：
1111??(1?)1000a30-a10v1-v30-v10(1?v10)5822????10301010111Ka30+a10v1-v+v(1?v)1??(1?)9 822解得：K?18001014. 设该永续年金每年支付R，结合公式:
a?=an?vna?
根据题意该永续年金为三人年金现值之和，即：
Ra?=Ran2?Ran2?Rvna?
又由于三人所领取的年金现值相等，有:
1?vnnanvR=Rvna? 即， R2=R2ii 所以，vn=1/319. 根据题意：
1000?（S10（?S5（）=17000i2）i2）22105（1?i2）-1+（1?i2）-1则：S10（?S5（==17（2）i2）i2）i22（2）（2）2令1?i2=t，上式经过整理为：t10?t5?17t?15=0令f(t)=t10?t5?17t?15根据Descart规则，上式最多有两个正根，而t=1显然不符合实际，故排除。经过试算，f（1.033）=-0.00117，f（1.034）=0.0009890?0.00117根据线性插值t=1.033+(1.034-1.033)??1.0335420.000989?0.00117因此，i （2）=2（t-1）=0.067083=6.7083%
（2）24. 设每月月末存入金额为R,利率调整后每月月末增加额为P,根据题意：
解法（一）解：根据题意（i2）=10%，则半年期的实际利率为（i2）/2=5%，一年期的实际利率则为：i=（1+11，v2=，有21?0.10251?0.05R（1+1.1025v1+1.10252v12+1.10253v13?...?1.102510v110）?R(1.1025v1?1.10252v12?2）?1=10.25%，设第一次存款额为R,令v1=（2）i?11.10253v13?...?1.102511v111)v2?11000v11111R?11R?1.05?110001.102511解得：R?166.7560解法（二）：（2）解：根据题意（i2）=10%，则半年期的实际利率为（i2）/2=5%，一年期的实际利率则为i=（1+i2通过对题设的分析，发现某人在每年1月1日的投资正好构成一个首项为R,公比为1.1025的期初付年金的等比数列的积累值，而因为i=k=0.1025，11所以每年1月1日付款的等比年金积累值为：V(n)1?11?（1?0.1025）R;11同时，每年7月日付年金的等比数列的积累值为1V(n)2?11?（1?0.1025）R?1.052）?1=10.25%，设第一次存款额为R根据题意，有V(n)1?V(n)2?11000,即111111?（1?0.1025）R?11?（1?0.1025）R?1.05?11000解得：R?166.7560
26. 根据题意，按照单利计算的第二十年末的积累值为：
（1+20）?20100?20?（100i+200i+300i+...+2000i）=2000+100i?2=2000?21000i?2840解得：i=0.04而按照复利计算的20年末的积累值为：100S20）=100（31.96920-1）=3096.920（元） 0.04=100（S210.04?1
35.依据题意可知
n该永续年金现值V(0)?(Ia)?n??nva????a?n??nvnvanan????或?? iiid..nn..
解：依据题意，该年金为等差递增年金，第六次、第七次付款额分别为11、13，由题意第六次、第七次付款额的现值相等，可得 11v5=13v6
V=11/13 从而i=1/v-1=2/11
而等差递增年金现值公式为V(0)?1?a?n??2?故该永续年金的现值
a?n??nvni
V(0)?lim[1?a?n??2?n??a?n??nvni12]?lim[1?a?n??2?]??2?66n??iiia?n?
42. 根据题意，第十年年末的积累值为：
51000S5 0.08（1+0.08）?1000（1.05?1.085+1.052?1.084?...?1.055?1.08）551.08?1.055=1000S5 0.08（1+0.08）?1000?1.08?1.05?0.08?0.051.4693?1.27636=1000?5.86660?1.08?1134?0.03=9309.5569?7297.1582=16606.7151
46. 解法一：
根据题意，设每月末领取R元，每月年金增加额为P,有：