相似三角形常见模型(总结材料)

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2、已知:AD是Rt△ABC中∠A的平分线,∠C=90°,EF是AD的垂直平分线交AD于M,EF、BC的延长线交于一点N。

求证:(1)△AME∽△NMD; (2)ND=NC·NB

3、已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC上一点,CF⊥BE于F。 求证:EB·DF=AE·DB

2

4.在?ABC中,AB=AC,高AD与BE交于H,EF?BC,垂足为F,延长AD到G,使DG=EF,M是AH的中点。 求证:?GBM?90?

5.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)、(3)小题满分各

已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2,AC=4,P是斜边AB一个动点,PD⊥AB,交边AC于点D(点D与点A、C都不重合),E是射线DC上一点,且∠EPD=∠A.设A、P两点的距离为x,△BEP的面积为

GAMEHBDFC5分) 上的B y.

(1)求证:AE=2PE;

(2)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域; (3)当△BEP与△ABC相似时,求△BEP的面积.

A P D E (第25题图)

C

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双垂型

1、如图,在△ABC中,∠A=60°,BD、CE分别是AC、AB上的高 求证:(1)△ABD∽△ACE;(2)△ADE∽△ABC;(3)BC=2ED

AED2、如图,已知锐角△ABC,AD、CE分别是BC、AB边上的高,△ABC和△BDE的面积分别是27和3,DE=62,求:点B到直线AC的距离。

BACEBDC

共享型相似三角形

1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=120?,已知BD=1,CE=3,,求等边三角形的边长.

ADBCE

2、已知:如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠DAE=45°.

求证:(1)△ABE∽△ACD; (2)BC2?2BE?CD.

一线三等角型相似三角形

A

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BDA ECE F 实用文档

例1:如图,等边△ABC中,边长为6,D是BC上动点,∠EDF=60° (1)求证:△BDE∽△CFD

(2)当BD=1,FC=3时,求BE

例2:(1)在?ABC中,AB?AC?5,BC?8,点P、Q分别在射线CB、AC上(点P不与点C、点B重合),且保持?APQ??ABC.

①若点P在线段CB上(如图),且BP?6,求线段CQ的长;

②若BP?x,CQ?y,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域;

A

Q B

(2)正方形ABCD的边长为5(如下图),点P、Q分别在直线..CB、DC上(点P不与点C、点B重合),且保持?APQ?90?.当CQ?1时,求出线段BP的长.

A

D

A

D

A

D

P

C

B

A

A

C

备用图

B

备用图

C

B

C

B

C

B

C

例3:已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.

(1)如图8,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A. ①求证;△ABP∽△DPC ②求AP的长.

B C

A P D (2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么

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①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;

②当CE=1时,写出AP的长.

ADADBCBC

例4:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB?CD?BC?6,AD?3.点M为边BC的中点,以M为顶点作?EMF??B,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,联结EF. (1)求证:△MEF∽△BEM;

(2)若△BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长; (3)若EF?CD,求BE的长.

相关练习:

1、如图,在△ABC中,AB?AC?8,BC?10,D是BC边上的一个动点,点E在AC边上,且

?ADE??C.

(1) 求证:△ABD∽△DCE;

(2) 如果BD?x,AE?y,求y与x的函数解析式,并写出自变量x的定义域; (3) 当点D是BC的中点时,试说明△ADE是什么三角形,并说明理由.

2、如图,已知在△ABC中, AB=AC=6,BC=5,D是AB 上一点,BD=2,E是BC 上一动点,联结DE,并作

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A E

B D

C

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