2.3.2 抛物线的简单几何性质
基础练习
1．直线y＝x－1被抛物线y＝4x截得的线段的中点坐标是( ) A．(1,2) C．(2,3) 【答案】D
【解析】将y＝x－1代入y＝4x，整理，得x－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2
＝6，
2
2
2
B．(2,1) D．(3,2)
x1＋x2
2
＝3.∴
y1＋y2x1＋x2－26－2
2
＝2
＝
2
＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．
2
2
2
2．(2018年云南文山模拟)已知抛物线y＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)＋y＝16相切，则p的值为( )
A．2 C．6 【答案】A
【解析】由已知可知抛物线的准线x＝－与圆(x－3)＋y＝16相切，圆心为(3,0)，半
2径为4，圆心到准线的距离d＝3＋＝4.解得p＝2.
2
3．(2019年黑龙江哈尔滨九中模拟)已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l→→
上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|等于( )
7
A． 25
C． 2【答案】B
→→
【解析】设点Q到l的距离为d，则|QF|＝d.∵FP＝4FQ，∴|PQ|＝3d.不妨设直线PF的22d2
斜率为－＝－22.∵F(2,0)，∴直线PF的方程为y＝－22(x－2)，与y＝8x联立，得
B．3 D．2
2
B．4 D．8
p22
pdx＝1.∴|QF|＝d＝1＋2＝3.故选B．
4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k的值为( )
2
- 1 -
1A． 32C． 3【答案】D
B．
2 3
22D．
3
【解析】C的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)过定点P(－2,0)．过点A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点．连接OB，则122－022|OB|＝|AF|，∴|OB|＝|BF|.∴点B(1，22)．∴k＝＝.故选D．
21－－23
5．(2019年山西临汾期末)已知抛物线C1：x＝2py(p>0)的准线与抛物线C2：x＝－2py(p>0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是________________．
【答案】x＝2y
2
2
2
p??p?1?p??【解析】由题意得F?0，?，不妨设A?p，－?，B?－p，－?，∴S△FAB＝·2p·p＝1，则
2??2?2?2??p＝1，即抛物线C1的方程是x2＝2y.
6．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是__________________________________________________．
【答案】y＝±
2
3
x 6
31??31??3
，点A的坐标为?，±?或?－，±?.可设抛物线22??22??2
332
.因而所求抛物线方程为y＝±x. 126
【解析】该等边三角形的高为
2
方程为y＝2px(p≠0)．A在抛物线上，因而p＝±
2
7．斜率为