2.3.2 抛物线的简单几何性质
基础练习
1．直线y＝x－1被抛物线y＝4x截得的线段的中点坐标是( ) A．(1,2) C．(2,3) 【答案】D
【解析】将y＝x－1代入y＝4x，整理，得x－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2
＝6，
2
2
2
B．(2,1) D．(3,2)
x1＋x2
2
＝3.∴
y1＋y2x1＋x2－26－2
2
＝2
＝
2
＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．
2
2
2
2．(2018年云南文山模拟)已知抛物线y＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)＋y＝16相切，则p的值为( )
A．2 C．6 【答案】A
【解析】由已知可知抛物线的准线x＝－与圆(x－3)＋y＝16相切，圆心为(3,0)，半
2径为4，圆心到准线的距离d＝3＋＝4.解得p＝2.
2
3．(2019年黑龙江哈尔滨九中模拟)已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l→→
上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|等于( )
7
A． 25
C． 2【答案】B
→→
【解析】设点Q到l的距离为d，则|QF|＝d.∵FP＝4FQ，∴|PQ|＝3d.不妨设直线PF的22d2
斜率为－＝－22.∵F(2,0)，∴直线PF的方程为y＝－22(x－2)，与y＝8x联立，得
B．3 D．2
2
B．4 D．8
p22
pdx＝1.∴|QF|＝d＝1＋2＝3.故选B．
4．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k的值为( )
2
- 1 -
1A． 32C． 3【答案】D
B．
2 3
22D．
3
【解析】C的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)过定点P(－2,0)．过点A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B为AP的中点．连接OB，则122－022|OB|＝|AF|，∴|OB|＝|BF|.∴点B(1，22)．∴k＝＝.故选D．
21－－23
5．(2019年山西临汾期末)已知抛物线C1：x＝2py(p>0)的准线与抛物线C2：x＝－2py(p>0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若△FAB的面积等于1，则C1的方程是________________．
【答案】x＝2y
2
2
2
p??p?1?p??【解析】由题意得F?0，?，不妨设A?p，－?，B?－p，－?，∴S△FAB＝·2p·p＝1，则
2??2?2?2??p＝1，即抛物线C1的方程是x2＝2y.
6．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是__________________________________________________．
【答案】y＝±
2
3
x 6
31??31??3
，点A的坐标为?，±?或?－，±?.可设抛物线22??22??2
332
.因而所求抛物线方程为y＝±x. 126
【解析】该等边三角形的高为
2
方程为y＝2px(p≠0)．A在抛物线上，因而p＝±
2
7．斜率为1的直线经过抛物线y＝4x的焦点且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
解：如图，由抛物线的标准方程可知焦点F(1,0)，准线方程为x＝－1.
由题意，直线AB的方程为y＝x－1，
代入抛物线方程y＝4x，整理得x－6x＋1＝0. (方法一)由x－6x＋1＝0，得
2
2
2
x1＋x2＝6，x1 ·x2＝1，
∴|AB|＝2|x1－x2| ＝2×
2
x1＋x2
2
－4x·x2
＝2×6－4＝8.
- 2 -
(方法二)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝|AA1|＝x1＋1，|BF|＝|BB1|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8.
8．设抛物线C：y＝2px(p>0)上有两动点A，B(AB不垂直于x轴)，F为焦点且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6,0)，求抛物线C的方程．
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，则x1＋x2＝8－p.
又|QA|＝|QB|，∴(x1－6)＋y1＝(x2－6)＋y2，即(x1＋x2－12)(x1－x2)＝2p(x2－x1)． ∵x1≠x2，∴x1＋x2＝12－2p.∴12－2p＝8－p.解得p＝4. ∴所求抛物线C的方程为y＝8x.
能力提升
9．过抛物线y＝4x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 C．有无穷多条 【答案】B
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7.又直线
B．有两条 D．不存在
2
22
2
2
2
2
AB过焦点且垂直于x轴的直线被抛物线截得的弦长最短，且|AB|min＝2p＝4，∴这样的直线有
两条．故选B．
10．(2019年浙江杭州模拟)过抛物线x＝4y的焦点F作直线AB，CD与抛物线交于A，B，
2
C，D四点，且AB⊥CD，则FA·FB＋FC·FD的最大值等于( )
A．4 C．－8 【答案】D
→→→→→→
【解析】依题意得FA·FB＝－(|FA|·|FB|)．又因为|FA|＝yA＋1，|FB|＝yB＋1，所以→→
FA·FB＝－(yAyB＋yA＋yB＋1)．设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，联立x2＝4y，可得x2－4kx－4＝0，
→→22
所以xA＋xB＝4k，xAxB＝－4.所以yAyB＝1，yA＋yB＝4k＋2.所以FA·FB＝－(4k＋4)．同→→→→→→?4??24?理FC·FD＝－?2＋4?.所以FA·FB＋FC·FD＝－?4k＋2＋8?≤－16，当且仅当k＝±1时等号
B．－4 D．－16
→→→→
?k??
k?
成立．
11．(2018年江西景德镇校级联考)如图，从点M(x0,4)发出的光线，沿平行于抛物线y＝8x的对称轴方向射向此抛物线上的点P，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q，再经抛物线反射后射
- 3 -
2
向直线l：x－y－10＝0上的点N，经直线反射后又回到点M，则x0的值为________．
【答案】6
【解析】由题意可知p＝4，F(2,0)，P(2,4)，Q(2，－4)，直线QN：y＝－4.直线QN，MN关于l：x－y－10＝0对称，即直线l平分直线QN，MN的夹角，∴直线MN垂直于x轴．解
??y＝－4，???x－y－10＝0，
得N(6，－4)，故x0＝6.
52
12．已知过抛物线y＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点且|AB|＝p，求AB2所在的直线方程．
5?p?解：焦点F?，0?，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥x轴，则|AB|＝2p ??x－p?，?y＝k?2????的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k?x－?(k≠0)．由? ?2???y2＝2px， p? k 消去x， 2p22 整理得ky－2py－kp＝0.由根与系数的关系，得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.∴|AB|＝－y2|＝ 1 1＋2· 11＋2|y1 kky1＋y2 2 ?1?5 －4y1y2＝2p?1＋2?＝p.解得k＝±2. ?k?2 p? ∴AB所在直线方程为y＝2?x－?或y＝－2?x－?. ?2??2? ?? p? - 4 -