6种选法，第四只鞋子是从2双中选一只有4种选法）
P(A)?1?P(A)?1?10?8?6?413?
10?9?8?7214解法二 样本点的总数为C10，
A的样本点为C54?24（因为从5双中任选4双，再从每双中任意取一只）
C54?2413 P(A)?1?P(A)?1??421C105.4张卡片标着1到4，面朝下放在桌子上，一个自称有透视能力的人将用他超感觉的能力说出卡上的号码，如果他是冒充者而只是随机地猜一下，他至少猜中一个的概率p是多少？
解：A表示“至少猜中一个’
A表示“4个全部猜错”
P(A)?1?P(A)?1?3?3?15? 4！86.一袋中装有N?1只黑球1只白球，每次从袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球，这样继续下去，问第k次摸球时，摸到黑球的概率是多少？
解：设A表示“第k次摸球时，摸到黑球”
A表示第k次摸球时，摸到白球”
因为袋中只有一只白球，而每次摸到白球时换入一只黑球放入，故为了第k次摸到白球，则前k?1次一定摸到的是黑球
(N?1)k?1?1?1?故P(A)??1???NNk??k?11 Nk?11??于是所求概率为P(A)?1?P(A)?1??1???N?1 N7.设B、C分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数，求方程
x2?Bx?C?0有实根的概率p和有重根的概率q.
解：一枚骰子接连掷两次，样本点总数为36，方程组有实数根的充分必要条
B2件为B?4C即C?
42 51
注意到
B B2使C?的样本点个数 4B2使C?的样本点个数 41 2 3 4 5 6 0 1 2 4 6 6 0 1 0 1 0 0 由此可见，方程x2?Bx?C?0有实根的概率p?方程x2?Bx?C?0有重根的概率为q?1 1819 368.随机地向半圆0?y?2ax?x2（a为正常数）内扔一个点，点落在半圆内任何区域内的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于
?的概率. 4解：以D表示半圆0?y?2ax?x2，由题设，点（x,y)应该落在如图的阴影部分G，G的面积为（在极坐标系中计算）
?S(G)??4d??02acos?0?1rdr??4?r20?2??2acos?0??d? ???1??2a2?4cos2?d??a2?4(1?cos2?)d?????a2
00?42??（或G的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上
1个圆的面积） 4 52
y D G x
??1?2???aS(G)?42?11??? 故P(A)?12S(D)2??a29.设0?P(A)?1，0?P(B)?1，证明：A、B独立?P(A|B)?P(A|B)?1. 证明：P(A|B)?P(A|B)?1?P(A|B)?1?P(A|B)?P(AB)
?P(AB)P(AB)??P(AB)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB) P(B)1?P(B)?P(AB)?P(B)[P(AB)?P(AB)]?P(B)P(A)?A、B独立
10.设第一只盒子中装有3只兰球，2只绿球，2只白球；第二只盒子中装有2只兰球，3只绿球，4只白球，独立地分别在两只盒子中各取一只球.
(1)求至少有一只兰球的概率； (2)球有一只兰球一只白球的概率；
(3)已知至少有一只兰球，求有一只半求一只白球的概率. 解：设Ai={从第i只盒子中取得一只白球}i?1,2
Bi={从第i只盒子中取得一只蓝球}i?1,2
由题设在不同盒子则取球是相互独立的 （1）所求的概率为
53
P(B1?B2)?P(B1)?P(B2)?P(B1B2) ?P(B1)?P(B2)?P(B1)P(B2)
?32325???? 79799（2）因为B1B2??，则(B1A2)(B2A1)?? 所求的概率为
P(B1A2?B2A1)?P(B1A2)?P(B2A1) ?P(B1)P(A2)?P(B2)P(A1)
?342216 ????799763（3）B1A2?B2A1?B1?B2 所求的概率为
P(B1A2?B2A1B1?B2)P[(B1A2?B2A1)(B1?B2)] ?P(B1?B2)?P(B1A2?B2A1)16?
P(B1?B2)3511. 要验收一批100件的乐器,验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收，设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰好有4件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？
解：设Bi={随机地取3件乐器，其中有i件是音色不纯的}（i?0,1,2,3） A={这批乐器被接收}
P(AB0)?(0.99)3，P(AB1)?(0.99)2?0.05，P(AB2)?0.99?(0.05)2 P(AB3)?(0.05)3
321123C96C96C4C96C4C4，P(B3)?3 P(B0)?3，P(B1)?3，P(B2)?3C100C100C100C100 54
故由全概率公式有
P(A)??P(ABi)P(Bi)?0.8629
i?0312.设一枚深水炸弹击沉一艘水艇的概率为1/3，击伤的概率为1/2，击不中的概率为1/6，并设击伤两次会导致潜水艇下沉，求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.
解：设A为“施放4枚深水炸弹，击沉潜水艇” B为“施放4枚深水炸弹，均未击中潜水艇” C为“施放4枚深水炸弹，恰有一枚击则潜水艇”
43P(B)???1?11?1??6??，P(C)?C4?2???6??
?1?43P(A)?1?P(B)?P(C)?1??111283?6???C?1?4?2???6???1296
习题 3.1
1. 设（X ,Y）的分布函数为F(x ,y)，试用F(x ,y)表示：
（1）P{a≤X≤b,Y
(3)1?F(a,b)?F(??,b)?F(a,??).
2. 设二维离散型随机变量的联合分布如下表： X 1 2 3 4 Y 1 1/4 0 0 1/16 2 1/16 1/4 0 1/4 3 0 1/16 1/16 0
试求(1) P??1?2?X?32,0?Y?4???; （2）P?1?X?2,3?Y?4?.
解：（1）P??1?2?X?3?2,0?Y?4??;
55