即 Fma(xz)? FX(z)?FY(z)
0,x?0??x??1?e?y,y?0?1?e,0?x?1，F（其中FX(x)?? Yy)???11?e?0,y?0?1,x?1??0,u?0??u2??(1?e),0?u?1 因此FU(u)???1?1?e1,u?1??4.设随机变量X、Y相互独立，且服从同一分布，试证明：
P{a?min{X,Y}?b}?[P{X?a}]2?[p{X?b}]2.
证明：由N?min(X,Y)＞z 等价于X?z 且Y?z 可得
Fmin(z)?P{N?z}?1?P{N?z}?1?P{X?z,Y?z}?1?P{X?z}?P{Y?z}?1?[1?P{X?z}]?[1?P{Y?z}]?FXz()?]F[Y1z ( 即 Fmi(nz)?1?[1
=1?[P{X?z}]2 代入得
P{a?min{X,Y}?b}?1?[P{X?b}]2?1?[P{X?a}]2 ?[P{X?a}]2?[P{X?b}]2??复习题三（A）
1． 在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）有放回抽样；（2）不放回抽样.我们定义随机变量X,Y如下：
?0,若第一次取出的是正品?0,若第二次取出的是正品X??; Y??.
?1,若第一次取出的是次品?1,若第二次取出的是次品试分别就（1），（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律.
解：（1）有放回抽样，X和Y的联合分布律为
10?1025P{X?0,Y?0}??
12?1236 66
P{X?1,Y?0}?2?1012?12?536 P{X?0,Y?1}?10?2512?12?36 P{X?1,Y?1}?2?2112?12?36 X 0 1
Y 0 25/36 5/36 1 5/36 1/36 （2）不放回抽样，X和Y的联合分布律为 P{X?0,Y?0}?10?94512?11?66 P{X?1,Y?0}?2?101012?11?66 P{X?0,Y?1}?10?21012?11?66 P{X?1,Y?1}?2?112?11?166 X 0 1
Y 0 45/66 10/66 1 10/66 1/66
2． 假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量：
X?0,Y?kk???1,Y?k(k?1,2),
求（X1，X2）的联合分布律与边缘分布律. 解：因为Y~E(1)
X?0,若Y?11???1,若Y?1
所以有
P{X1?1}?P{Y?1}????e?y1dy?e?1
P{X1?0}?P{Y?1}??1e?ydy?1?e?10
同理P{X??2?1}?P{Y?2}??2e?ydy?e?2
P{X2?0}?P{Y?2}?1?e?2
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所以P{X1?1,X2?1}?P{Y?2}?e?2
P{X1?1,X2?0}?P{X1?1}?P{X1?1,X2?1}?e?1?e?2 P{X1?0,X2?0}?P{Y?1}?1?e?1
P{X1?0,X2?1}?P{X1?0}?P{X1?0,X2?0}?0
故（X1，X2）的联合分布律与边缘分布律
X1 X2 0 1 P{ X1=i}
0 0 1?e?1 1?e?1
1 e?1?e?2 e?2 e?1
P{ X2=j} 1?e?2 e?2
3.元旦茶会上，每人发给一袋水果，内装3只句子，2只苹果，3只香蕉.今从袋中随机抽出四只，以X记桔子数，Y记苹果数，求（X,Y）的分布律 解：X可取的值为0，1，2，3.Y可取的值为0，1，2
P{X?0,Y?0}?P{?}?0
013P{X?0,Y?1}?C3C2C3/C84?2/70 022P{X?0,Y?2}?C3C2C3/C84?3/70 103P{X?1,Y?0}?C3C2C3/C84?3/70 112P{X?1,Y?1}?C3C2C3/C84?18/70 121P{X?1,Y?2}?C3C2C3/C84?9/70 02P{X?2,Y?0}?C32C2C3/C84?9/70 11P{X?2,Y?1}?C32C2C3/C84?18/70 20P{X?2,Y?2}?C32C2C3/C84?3/70 301P{X?3,Y?0}?C3C2C3/C84?3/70 310P{X?3,Y?1}?C3C2C3/C84?2/70
P{X?3,Y?2}?P{?}?0
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所以，（X,Y）的分布律为
Y X 0 1
0 0 3/70
1 2/70 18/70
2 3/70 9/70
4.随机变量（X，Y）的分布律如右表，求： Y （1） a值；
（2） （X,Y）的分布函数F（x，y）； （3） （X,Y）关于X,Y的边缘分布函数 FX（x）与FY（y）.
解：（1）由分布律的性质?pij?1得a?i,j2 9/70 18/70 3/70 3 3/70 2/70 0 X 1 2 —1 1/4 1/6 0 1/4 a 1 3（2）因F(x,y)?P{X?x,Y?y} ①x??1或y??1时,F(x,y)?0
②1?x?2,?1?y?0时，F(x,y)?P{X?1,Y??1}?1 45 12③x?2,?1?y?0时，F(x,y)?P{X?1,Y??1}?P{X?2,Y??1}?④1?x?2,y?0时，F(x,y)?P{X?1,Y??1}?P{X?1,Y?0}?⑤
1 2x?2,y?0时，F(x,y)?P{X?1,Y??1}?P{X?2,Y??1}?P{X?1,Y?0}?P{X?2,Y?0}?1
综上所述，（X,Y）的分布函数F（x，y）为
0,x?1或y??1??1/4,1?x?2,?1?y?0?1?(1)a?(2)F(x,y)??5/12,x?2,?1?y?0;
3?1/2,1?x?2,y?0?1,x?2,y?0??（X,Y）关于X,Y的边缘分布律为 X -1 0 P 5/12 7/12
Y 1 2 P 1/2 1/2
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故（X,Y）关于X,Y的边缘分布函数FX（x）与FY（y）为
?0,x?1?0,y??1(3)F?X(x)??1/2,1?x?2,Fy)???Y(?5/12,?1?y?0.
?1,x?2??1,y?05.设：
f(x,y)???1,0?x?2,max(0,x?1)?y?min(1,x)?0,其它， 求FX（x）与FY（y）.
解;max(0,x?1)???0,x?1?x,x?1?x?1,x?1, min(1,x)???1,x?1,
所以，f(x,y)有意义的区域可分为
{0?x?1,0?y?x}，{1?x?2,1?x?y?1}
Y=x Y=x-1 ?1,0?x?1,0?y?xf(x,y)???1,1?x?2,x?1?y?1
??0,其他所以
?x??0dy,0?x?1?x,0?x?1f(x)???1?X??x?1dy,1?x?2??2?x,1?x?2
?0,其他?0,其他??
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