k??a?1?1?k?3?? ??k?a?2??0.75?a?26． 设随机变量X的概率密度为：
?1?|1?x|,0?x?2 f(x)??，0,其它?求E（X）.
?x,0?x?1???2?x,1?x?2 解：f(x）?0,其他?E(X)??xxdx??x(2?x)dx?1
01127． 一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
x?1?4?x,x?0f(x)??4,
?0,x?0?工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换.若工厂售出一台设备赢利100元.调换一台设备工厂需花300元.试求工厂出售一台设备净盈利的数学期望.
100,X?1?解：利润函数L(X)??
??300?100?200,X?1E(L)?100?P{X?1}?200?P{X?1} ?100????11?1?4edx?200??e4dx?33.64(元)
044xx08． 设随机变量X的概率密度为:
?e?x,x?0f(x)??,
?0,x?0(1)求Y=2X的数学期望； （2）求Y?e?2X的数学期望 解;(1)E(Y)?E(2X)??2xf(x)dx??2xe?xdx?2
??0????????1(2) E(Y)?E(e?2X)??e?2xf(x)dx??e?3xdx?
??039． 设（X,Y）的分布律为：
86
Y X —1 0 1 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0.0 0.1 3 0.0 0.3 0.1 (1)求E(X)，E(Y)； （2）设Z=Y/X，求E(Z)；（3）设Z=（X—Y）2，求E(Z). 解（1） X P Y P
E(X)?1?0.4?2?0.2?3?0.4?2.0 E(Y)??1?0.3?0?0.4?1?0.3?0
1 0.4 -1 0.3 2 0.2 0 0.4 3 0.4 1 0.3 (2)
yj?Y?E(Z)?E?????pijXx??iji
11111?[(?1)?0.2?1?0.1]?(??0.1??0.1)?(??0??0.1)??223315(3)
E(Z)?E[(X?Y)2]???(xi?yj)2pijij?[1?(?1)]2?0.2?(1?0)2?0.1?(1?1)2?0.1?32?0.1?22?0.1?42?0?32?0.3?22?0.1?2
10． 设(X,Y)的概率密度为：
?12y2,0?y?x?1 f(x,y)??，0,其它?求E（X），E(Y)，E（XY），E(X2?Y2). 解：
E(X)??1x?????????xf(x,y)dxdy4??dx?x12ydy?0052
87
E(Y)??1x????????3?yf(x,y)dxdy3??dx?12ydy?005E(XY)??1x????????2
?xyf(x,y)dxdy1??dx?xy12ydy?002E(X2?Y2)??1x2????????2
?(x2?y2)f(x,y)dxdy216??dx?(x?y)12ydy?0015
111． 设X与Y是相互独立且均服从正态分布N(0,)的随机变量，求|X—Y|
2的数学期望.
解：Z?X?Y,Z~N(0,1于是 ）E(X?Y)?E(Z)??z????12??z22e?z22dz2?2???0z12?e?z22dz?2?(?e)??0??
习题4.2
1．
设随机变量X服从泊松分布，且
3P{X?1}?2P{X?2}?4P{X?0},
求D(X).
解：分布律为P{X?k}??kk!ee??,k?0,1,2,?
由已知 3??1e1！???2??22!???4??00!e??
即?2?3??4?0，解得??1,???4(舍去） 故E(X)???1，D(X)???1
2． 设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡的寿命（单位：小时）X和Y得分布律分别为：
X pi
900 0.1 1000 0.8 1100 0.1 Y pi 950 0.3 1000 0.4 1050 0.3 88
求D(X)和D(Y).
解：E(X)?900?0.1?1000?0.8?1100?0.1?1000
E(Y)?950?0.3?1000?0.4?1050?0.3?1000
甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡的寿命的期望值相等，即平均寿命相等。 但是D(X)?(900?1000)2?0.1?(1000?1000)2?0.8?(1100?1000)2?0.1?220
D(Y)?(950?1000)2?0.3?(1000?1000)2?0.4?(1050?1000)2?0.3?150
D(Y)?D(X)，故乙厂生产的灯泡的寿命较甲厂集中，稳定性较好。
3． 已知X~b(n,p),且E(X)=3,D（X）=2，试求X的全部可能取值，并计算P{X≤8}.
??E(X)?np?3?n?91 解???p??D(X)?np(1?p)?2?3?故X的取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
9?1?P{X?8}?1?P{X?9}?1???
?3?4． 设X~N（1，2）,Y服从参数为3的泊松分布，且X与Y独立，求D（XY）. 解
D(XY)?E(XY)2?E2(X)E2(Y)?[D(X)?E(X)][D(Y)?E(Y)]?E(X)E(Y)2222
?D(X)D(Y)?D(X)E2(Y)?D(Y)E2(X)?2?3?2?3?3?1?2722
5． 设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有E(Xi)?i,D(Xi)?5?i,i?1,2,3,4.又设
Y?2X1?X2?3X3?1X4, 2求E(Y),D(Y).
解：E(Y)?E(2X1?X2?3X3??2E(X1)?E(X2)?3E(X3)?1=2?1?2?3?3??4?7
2D(Y)?D(2X1?X2?3X3?
1X4) 21E(X4) 21X4) 289
?4D(X1)?D(X2)?9D(X3)?1D(X4) 41?4?4?3?9?2??1?37.25
46． 5家商店联营，它们每两周售出的某种农产品（以kg计）分别为
X1,X2,X3,X4,X5已知.
X1~N(200,225),X2~N(240,240),X3~N(180,225),X4~N(260,265),X5~N（320，,2X,3X,4X,5270），X1X相互独立.
（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差.
（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储备该产品多少千克？ 解：（1）总销售量X?X1?X2?X3?X4?X5
E(X)?E(X1?X2?X3?X4?X5)??E(Xi)
i?15=200+240+180+260+320=1200
D(X)?D(X1?X2?X3?X4?X5)??D(Xi)
i?15=225+240+225+265+270=1225
（2）设商店的仓库应至少储备该产品y千克，由（1）知X~N(1200,1225)为使
P{X?y}?0.99
y?1200?y?1200??2.33 即??于是????0.99??2.33??1225?1225?即y?1282(kg)
故商店的仓库应至少储备该产品1282千克，才能使新的供货到达前商店不
会脱销的概率大于0.99.
习题4.3 1．设X服从参数为2的泊松分布，Y=3X—2，试求E（Y）,D(Y),cov(X,Y)及?XY. 解：E(Y)?E(3X?2)?3E(X)?2?3?2?2?4
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