全国名校高考数学复习优质专题汇编（附详解）
求函数值域问题—7类题型16种方法
一、函数值域基本知识
1．定义：在函数
中，与自变量x的值对应的因变量y的
值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2．确定函数的值域的原则 ①当函数的集合；
②当函数
用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y
的投影所覆盖的实数y的集合；
③当函数
用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域
及其对应法则唯一确定；
④当函数意义确定。
二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。
函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数2.二次函数当
时的值域为
的值域为R.
，当.，
时的值域为
，
由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际
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3.反比例函数4.指数函数5.对数函数
的值域为
的值域为的值域为R.
. .
6.正，余弦函数的值域为三、求解函数值域的7类题型 题型一：一次函数1、一次函数： 2、一次函数
，正，余切函数的值域为R.
的值域（最值）
当其定义域为，其值域为；
在区间上的最值，只需分别求出
，并比较它们的大小即可。若区间的形式为或
等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数1、二次函数
2、二次函数首先判定其对称轴（1）若
,则当
值为
在区间与区间时，
上的值域(最值) 的位置关系
是函数的最小值，最大中较大者；当
时，
中较
的值域（最值）
， 当其 定义域为时，其值域为
是函数的最大值，最大值为
小者。
（2）若（小）值。
特别提醒：
,只需比较
的大小即可决定函数的最大
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；
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②若给定的区间形式是图像来确函数的值域；
等时，要结合
③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知
。 例2：已知
，且
，则
的值域为
。
题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数2、形如： （1）若定义域为（2）若
的定义域为的值域：
时，其值域为
，然后利用，值域为
的定义域为
，则
的定义域为
时，我们把原函数变形为
（即的有界性），便可求出函数的值域。
例3：函数其值域为 例4：当已知例5：函数其值域为
的值域
的值域为 。 时，函数，且的值域为
的值域 ，则
。 （2）
。 ，
；若
时，
的值域为
；若
题型四：二次分式函数
一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问
题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；③分子、分母必须是既约分式。