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基本不等式（一）
【学习目标】（1）学会推导并掌握基本不等式ab?a?b2，理解此不等式的几何意义； （2）了解熟悉算术平均数、几何平均数的概念 （3）会应用不等式及其变形求一些简单的最值问题 【课前预习】
如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。在北京召开的24届国际数学家大会上作为会
标。你知道这其中含有哪些数学因素吗？ 设小直角三角形的两条直角边为a、b，
则正方形的边长为，正方形的面积为。 四个直角三角形的面积和为。
4?S三角形?S正方形?<。
思考：当中间的小正方形面积为0的时候，此时直角三角形是,(4?S三角形?S正方形) 概念:一般的,对于任意的实数a,b,我们有，当且仅当时,等号成立. 特别的,如果a?0,b?0,我们用a、b分别代替a,b,可得。我们通常把上式写成ab?a?b2(a?0,b?0) 第一个不等式我们是通过几何的面积关系得到的,那么第二个不等式我们能不能直接利用不等式的性质来推导呢? 证明过程:要证
a?b2?ab① 只需证?②(同时平方)
要证②只需证?0③(右边的项移到左侧) 要证③只需证(_____?_____)2?0④
显然④成立.当且仅当a?b时,等号成立.a,b,
概念扩展:回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数a,b,且a?0,b?0, a?b2是a,b的，叫做a,b的算术平均数， ab是叫做a,b的，叫做a,b的几何平均数，
由基本不等式可得：a,b的等差中项a,b的等比中项（?,?），
特别的，当a?b时，a,b的等差中项等于a,b的等比中项。
【预习自测】
习题一：若a?0，则a?1a? 若ab?0，则a?bba?
思考： 习题二：（1）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短？ 设菜园的长为x，宽为y，则xy?，篱笆的总长度表示为， 由a?b2?ab可得x?y?， 当等号成立时，所用篱笆最短，此时x?___,y?___.
（2）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？ 设菜园的长为x，宽为y，则x?y?，篱笆的面积表示为，
由a?b2?ab可得xy?， 当等号成立时，面积最大，此时x?_____,y?_____.
总结：两个实数a?0,b?0, 若它们的积为定值，则它们的和有最值，当且仅当a?b成立。 若它们的和为定值，则它们的和有最值，当且仅当a?b成立。
练习：1直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？ 设两边分别为x,y。则xy?_______x?y
2用20cm长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？
3把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ 4把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
基本不等式（二）
一、 自主学习
1．已知x，y都是整数，
（1）若x?y?s（和为定值），则当x?y时，积xy取得 （2）若xy?p（积为定制），则当x?y时，和x?y取得 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大。
2．设x,y满足x?4y?40，且x,y都是正数，则lgx?lgy的最大值是（） A．40B．10C．4D．2
3．在下列函数中，最小值为2的是（） A.y?x?11xB.y?3x?3?xC.y?lgx?lgx(1?x?10)D.y?sinx?1?sinx(0?x?2) 4.若x?4，则函数y?x?1x?4（）
A．有最大值-6．B.有最小值6C有最大值-2D.有最小值2 5．已知lgx?lgy?1，则5?2xy的最小值为__________________ ★利用均值不等式求最值时，应注意的问题 知识拓展1.基本不等式的变形：
(a?b)2；a?b22a2?b2_____2a?ba2?b22(2)____2；ab___2；ab___(a?b2)2；(a?b)2____4ab 2.一般地，对于n个正数a1,a2,,an(n?2)，都有，a1?a2?ann?na1a2an（当且仅当a1?a2??an时取等号）
3.a2?b2?c2?ab?ac?bc(a,b,c?R)当且仅当a?b?c时取等号） 巩固练习
1．设x>0,y>0,x+y=1,则使m?x?y恒成立的实数m的最小值是（） A.2B.2C.2D22 22．设x,y满足x+4y=40,且想，且x,y?R?，则lgx?lgy的最大值是（） A．40B。10C。4D。2
3．已知正项等差数列?an?的前20项和为100，则a5a16的最大值为（）
①各项均为正数，特别是出现对数式、三角数式等形式时，要认真考虑。
②求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值。 ③确保等号成立。
以上三个条件缺一不可，可概括“一正、二定、三相等”。 二、 学习探究
【题型一】利用不等式求函数的最值 已知x?5，求函数y?414x?2?4x?5的最大值。 变式已知0 【题型二】含条件的最值求法 已知整数x,y满足8x?1y?1，求x+2y的最小值。 变式：已知x?0,y?0，满足x?2y?1，求1?1xy的最小值. 【题型三】利用不等式解应用题 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？A．100B。75C。50D。25 4．函数f(x)?xx?1的最大值为（） A2125B2CD1 25．设x>0,则y=3-3x-1x的最大值是；函数f(x)=3x+lgx+4(0