上海市奉贤区2019年高三第一学期期末(一模)学科质量检测数学试题及答案(word解析版)

【考点】4R:反函数.

【专题】11:计算题;51:函数的性质及应用.

【分析】由f(2)=5,解得c=1,得y=f(x)=2+1,然后反解x后,对调x与f(x)可得.

【解答】解:依题意有:f(2)=2+c=5,解得:c=1,所以f(x)=2+1, ∴2=f(x)﹣1,x=log2 (f(x)﹣1),∴f(x)=log2(x﹣1) 故答案为:log2 (x﹣1)

【点评】本题考查了反函数.属基础题.

4.(4分)在(x﹣)的展开式中x的系数为 40 . 【考点】DA:二项式定理.

【专题】11:计算题;35:转化思想;4O:定义法;5P:二项式定理.

【分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于1,求出r的值,即可求得开式中x的系数.

【解答】解:二项式的展开式的通项公式为 Tr+1=C5?(﹣2)?x令5﹣2r=1,求得 r=2,

∴二项式的展开式中x的系数为C5?(﹣2)=40, 故答案为:40.

【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于中档题.

5.(4分)若复数z=(a+i)(3+4i)(i是虚数单位)的实部与虚部相等,则复数z的共扼复数的模等于 25 .

2

2

r

r

5﹣2r

5

x

﹣1

x

2x

【考点】A5:复数的运算.

【专题】49:综合法;4R:转化法;5N:数系的扩充和复数.

【分析】利用复数的运算法则化简z,根据实部与虚部相等可得a,再利用复数的运算性质即可得出.

【解答】解:复数z=(a+i)(3+4i)=(3a﹣4)+(3+4a)i的实部与虚部相等, ∴3a﹣4=3+4a,解得a=﹣7.

则复数z=﹣25﹣25i的共扼复数的=﹣25+25i,||=

=25

故答案为:25.

【点评】本题考查了复数的运算法则及其性质、实部与虚部,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.

6.(4分)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机地并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都相邻的概率为 【考点】CB:古典概型及其概率计算公式. 【专题】5I:概率与统计.

【分析】本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上,共有A5种结果,同一科目的书都相邻,利用捆绑法,利用古典概型概率公式计算即可

【解答】解:由题意知本题是一个等可能事件的概率,

试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上,共有A5=120种结果, 同一科目的书都相邻,把2本语文书捆绑在一起,再把2本数学书捆绑在一起,故有A2A2A3=24种,

故同一科目的书都相邻的概率P=故答案为:

【点评】本题考查排列数的计算,捆绑法的应用,古典概型概率公式的应用,属于基础题. 7.(5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为c,若(a﹣b+c)=

,则角B的值为 arctan

【考点】HR:余弦定理.

【专题】11:计算题;58:解三角形.

.(用反正切表示)

2

2

22

2

3

5

5

【分析】由a﹣b+c==

222

,得=,∴cosB=sinB,∴tanB

,再用反三角表示即可.

【解答】解:由a﹣b+c=∴cosB=

sinB,∴tanB=

222

,得,又B∈(0,

),∴B=arctan

故答案为:arctan

【点评】本题考查了余弦定理.属中档题. 8.(5分)椭圆

+

=1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1,则t的取值范围为 ) .

(3,4)∪(4,

【考点】K4:椭圆的性质.

【专题】34:方程思想;4R:转化法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】分t>4和0<t<4求出椭圆的长半轴长和半焦距,再由a﹣c>1列式求解t的取值范围.

【解答】解:当t>4时,椭圆则a=

,b=2,c=

>1,解得4<t<

+

=1表示焦点在y轴上的椭圆,

由题意可得:a﹣c=

当0<t<4时,椭圆则a=2,b=

,c=

+=1表示焦点在x轴上的椭圆, ,

>1,解得3<t<4.

).

由题意可得:a﹣c=2﹣

综上,t的取值范围为(3,4)∪(4,故答案为:(3,4)∪(4,

).

【点评】本题考查椭圆的简单性质,明确长轴的两个端点到焦点距离最小(或最大)是关键,是中档题.

9.(5分)函数g(x)对任意的x∈R,有g(x)+g(﹣x)=x.设函数f(x)=g(x)﹣

22

且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,若f(a)+f(a﹣2)≤0,则实数a的取值范围为 [﹣2,1] .

【考点】3E:函数单调性的性质与判断;3P:抽象函数及其应用. 【专题】35:转化思想;48:分析法;51:函数的性质及应用.

【分析】判断f(x)的奇偶性和单调性,根据单调性和奇偶性,运用二次不等式的解法求出

a的范围.

【解答】解:由f(x)=g(x)﹣

得:f(﹣x)=g(﹣x)﹣

2

∴f(x)+f(﹣x)=g(x)+g(﹣x)﹣x=0,

∴f(x)在R上是奇函数,又f(x)在区间[0,+∞)上单调递增, ∴f(x)在R上单调递增,

∵f(a)+f(a﹣2)≤0,∴f(a)≤﹣f(a﹣2)=f(2﹣a), ∴a≤2﹣a,即﹣2≤a≤1. 故答案为:[﹣2,1].

【点评】本题考查韩寒说的奇偶性和单调性的判断和运用:解不等式,考查定义法和转化思想,属于基础题.

10.(5分)天干地支纪年法,源于中国.中国自古便有十天干与十二地支. 十天干:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;

十二地支:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.

天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,…,以此类推.排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”,“乙亥”,之后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,…,以此类推.

已知2017年为丁酉年,那么到改革开放100年时,即2078年为 戊戌 年. 【考点】F4:进行简单的合情推理.

【专题】2A:探究型;38:对应思想;4O:定义法;54:等差数列与等比数列;5M:推理和证明.

【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列,地支是以12为公差的等差数列,以2017年的天干和地支分别为首项,即可求出答案.

【解答】解:天干是以10为构成的等差数列,地支是以12为公差的等差数列,

从2017年到2078年经过61年,且2017年为丁酉年,以2017年的天干和地支分别为首项, 则61÷10=6余1,则2078的天干为戊, 61÷12=5余1,则戊的地支为戌, 故答案为:戊戌

【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用,属于中档题.

2

2

2

2

11.(5分)点P在曲线是

=1上运动,E是曲线第二象限上的定点,E的纵坐标

=x

+y

,则x+y的最大值是

,O(0,0),F(4,0),若

【考点】KE:曲线与方程.

【专题】34:方程思想;41:向量法;5A:平面向量及应用;5B:直线与圆.

【分析】化简曲线方程画出图形,设出P(m,n),求得E的坐标,由向量坐标表示可得x,y关于m,n的关系式,再由线性规划知识,即可得到所求最大值. 【解答】解:曲线

如图所示,P在曲线上运动, 设P(m,n),可得

+

=1,

=1即为

+

=1,

由E是曲线第二象限上的定点,E的纵坐标是可得E(﹣

),

),

可得(m,n)=x(4,0)+y(﹣即有m=4x﹣可得x=

y,n=

n, , 在

+y,

,y=

即有x+y=+要求x+y=+

=1下的最大值,

考虑如图所示曲线的顶点(﹣5,0),(5,0),(0,3),(0,﹣3), 代入(0,3)可得最大值为故答案为:

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