?(2000?204290?2000?10)N
?2.89?10N根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是2.89?104N．
（2）汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到竖直向下的重力G?mg和桥面向上的支持力N2，如图（乙）所示．圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力G?mg与支持力N2的合力为mg?N2，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即F向?mg?N2，由向心力公式有
v2mg?N2?mR，
解得桥面的支持力大小为
N2?mg?mv2R4?(2000?10?2000?10290)N
?1.78?10N根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1.78?104N．
（3）设汽车速度为vm时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零．根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重力G即F向?mg?mg就是汽车驶过桥顶点时的向心力，
，由向心力公式有
vmR2mg?m，
2解得：g?10m/s
汽车以30 m／s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力．
例2：如图所示，飞机以v?15m/s的恒定速率沿半径R?10m的外切圆轨道，在竖直平面内做特技飞行，求质量为M?60kg的飞行员在A．B．C．D各点对机座或保险带的作用力？
选题目的：考查向心力的实际应用和计算．
解析：设机座对飞行员的支持力为FN，保险带对飞行员的拉力为F （1）在A点时，FA?0． 根据向心力公式，有FNA?Mg?Mv2R
（2）在B点时，FN．F均为零的临界速度为v0?Rg?10m/s 因为v?v0，所以FNB?0，根据向心力公式，有FB∴
FB?M(v2?Mg?Mv2R
R?g)?750N
（3）在C点时，FNC?0， 同理FC∴
?Mg?Mv2v2R
FC?M(g?R)?1950N（4）在D点时，因为v?v0，所以FD?0
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同理FND∴
?Mg?Mv2v2R
FND?M(R?g)?750N例3：一辆载重汽车的质量为4m，通过半径为R的拱形桥，若桥顶能承受的最大压力为F?3mg，为了安全行驶，汽车应以多大速度通过桥顶？
选题目的：考查向心力的实际应用． 解析：如图所示，由向心力公式得
4mg?FN?4mv2R
v2∴
FN?4mg?4mR ?? ①
为了保证汽车不压坏桥顶，同时又不飞离桥面，根据牛顿第三定律，支持力的取值范围为0?FN?3mg ?? ②
将①代入② 解得
12Rg?v?Rg 例4：如图所示，用细绳拴着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动，圆周半径为R则下列说法正确的是（ ）
A．小球过最高点时，绳子张力可以为零 B．小球过最高点时的最小速度为零 C．小球刚好过最高点时的速度是Rg
D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
选题目的：考查圆周运动的受力分析及速度计算．
解析：小球在最高点时，受重力mg．绳子竖直向下的拉力F（注意：绳子不能产生竖直向上的支持力）． 向心力为Fn?mg?F 根据牛顿第二定律得mg?F?mv2R
可见，v越大时，F越大，v越小时，F越小 当F?0时，Fn?mg?mv2R得v最小?Rg
讨论：（1）v很小时，可保证小球通过最高点，但F很小． （2）当v很小并趋近于零时，则mv2R很小并趋近于零，由于重力一定，重力大于小球所需向心力，
小球偏向圆心方向，不能达到最高点，在到最高点之前已做斜抛运动离开圆轨道． （3）当v?Rg时，F?0，即刚好通过．
所以，正确选项为A．C．
例5：如图（a）所示，质量为m的物体，沿半径为R的圆形轨道自A点滑下，A点的法线为水平方向，B点的法线为竖直方向，物体与轨道间的动摩擦因数为?，物体滑至B点时的速度为v，求此时物体所受的摩擦力．
选题目的：考查圆周运动的向心力的分析．
解析：物体由A滑到B的过程中，受到重力．轨道对其弹力．及轨道对其摩擦力作用，物体一般做变速圆周运动．已知物体滑到B点时的速度大小为v，它在B点时的受力情况如图（b）所示．其中轨道的
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弹力FN．重力G的合力提供物体做圆周运动的向心力，方向一定指向圆心．故FNFN?mg?mv2?mg?mv2R
R
??FN??(mg?mv2则滑动摩擦力为F1R)
注意：解决圆周运动问题关键在于找出向心力的来源．向心力公式．向心加速度公式虽然是从匀速圆周运动这一特例得出，但它同样适用于变速圆周运动．
同步练习
一．选择题
1．若火车按规定速率转弯时，内、外轨对车轮的轮缘皆无侧压力，则火车以较小速率转弯时（）
A．仅内轨对车轮的轮缘有侧压力 B．仅外轨对车轮的轮缘有侧压力 C．内．外轨对车轮的轮缘都有侧压力 D．内．外轨对车轮的轮缘均无侧压力
2．把盛水的水桶拴在长为l的绳子一端，使这水桶在竖直平面做圆周运动，要使水在水桶转到最高点时不从桶里流出来，这时水桶的线速度至少应该是（）
A．2gl B．gl/2 C．gl D．2gl 3．如图所示，水平圆盘可绕过圆的竖直轴转动，两个小物体M和m之间连一根跨过位于圆心的定滑轮的细线，M与盘间的最大静摩擦力为Fm，物体M随圆盘一起以角速度?匀速转动，下述的?取值范围已保证物体M相对圆盘无滑动，则
A．无论取何值，M所受静摩擦力都指向圆心
B．取不同值时，M所受静摩擦力有可能指向圆心，也有可能背向圆心
C．无论取何值，细线拉力不变
D．?取值越大，细线拉力越大
4．汽车在倾斜的弯道上拐弯，如图所示，弯道的倾角为?（半径为r），则汽车完全不靠摩擦力转弯，速率应是（ ）
A．glsin? C．grtan? B．grcos? D．grcot? ?15．在一段半径为R的圆弧形水平弯道上，已知地面对汽车轮胎的最大摩擦力等于车重的?倍（?汽车拐弯时的安全速度是（）
A．v??Rg B．v?Rg）则
?Rg
C．v?2?Rg D．v? 6．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，小球对轨道压力的大小为（）
A．0 B．mg C．3mg D．5mg
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7．如图所示，小球m在竖直放置的光滑形管道内做圆周运动．下列说法中正确的有（）
A．小球通过最高点的最小速度为v?Rg
B．小球通过最高点的最小速度为0
C．小球在水平线ab以下管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力 D．小球在水平线ab以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力
8．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是（）
A．小球过最高点时速度为零
B．小球开始运动时绳对小球的拉力为mv02L
C．小球过最高点时绳对小球的拉力为mg D．小球过最高点时速度大小为Lg 9．一个物块从内壁粗糙的半球形碗边下滑，在下滑过程中由于摩擦力的作用，物块的速率恰好保持不变，如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．物块所受合外力为零 B．物块所受合外力越来越大
C．物块所受合外力大小不变，方向时刻改变
D．物块所受摩擦力大小不变
10．如图所示，长度L?0.5m的轻质细杆OP，P端有一质量m?3.0kg的小球，小球以O点为圆心在竖直平面内做匀速圆周运动，其运动速率为2.0m/s，则小球通过最高点时杆OP受到（g取10m/s2）
A．6.0N的拉力 B．6.0N有压力
C．24N的拉力 D．54N的拉力 二．填空题
1．M为在水平传送带上被传送的物体，A为终端皮带轮。如图所示，A轮半径为r，则可被平抛出去时，A轮的角速度至少为______．
2．小球做匀速圆周运动，半径为R，质量为m，向心加速度为a，则小球受到的合力的大小为________，小球做圆周运动的周期为_________．
3．汽车的速度是72km/h，过凸桥最高点时，对桥的压力是车重的一半，则桥面的曲率
m半径为_______m，当车速为______m/s，车对桥面最高点的压力恰好为零． 三．计算题
1．长为0.5m的轻杆OA（不计质量），A端插个质量为2.0kg的物体，在竖直平面内绕O点做圆周运动，求在下述的两种情况下，通过最高点时物体对杆的作用力．
（1）杆做匀速圆周运动的转速为2.0r/s；
（2）杆做匀速圆周运动的转速为1.0r/s．
2．如图所示，半径为R的光滑圆环上套有一质量为m的小环，当圆环以角速度?绕着环心的竖直轴旋转时，求小环偏离圆环最低点的高度．
周末练习
1．如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法正确的是（ ）
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A．在竖直方向汽车受到三个力：重力和桥面的支持力和向心力 B．在竖直方向汽车只受两个力，重力和桥面的支持力 C．汽车对桥面的压力小于汽车的重力 D．汽车对桥面的压力大于汽车的重力
2．一辆汽车以速度v匀速转弯，若车轮与地面间的最大静摩擦力为车重的k倍，求汽车转弯的最小半径． 3．一根原长为20cm的轻质弹簧，劲度系数k?20N/m，一端拴着一个质量为1kg的小球，在光滑的水平面上绕另一端做匀速圆周运动，此时弹簧的实际长度为25cm，如图所示，求：（1）小球运动的线速度为多大？（2）小球运动的周期为多大？ 4．一细绳拴一质量mg?10m/s2?100g的小球，在竖直平面内做半径R?40cm的圆周运动，取
，求：
（1）小球恰能通过圆周最高点时的速度多大？
（2）小球以v1?3.0m/s的速度通过圆周最低点时，绳对小球的拉力多大？
（3）小球以v2?5.0m/s的速度通过圆周最低点时，绳对小球的拉力多大？
5．质量为m?0.02kg的小球，与长为l?0.4m的不计质量的细杆一端连接，以杆的另一端为轴，在竖直面内做圆周运动，当小球运动到最高点，速度分别为v1?0,v2?1m/s,v3?2m/s,v4?4m/s时，杆与别对小球施加什么方向的力？大小如何？
6．一架滑翔机以180km/h的速率，沿着半径为1200m的水平圆弧飞行，计算机翼和水平面间夹角的正切值．（取g
?10m/s2）
探究活动
1．荡秋千时，你对秋千底座的压力大小恒定吗？请你想办法实际验证一下，并解释为什么？ 2．请观察一下，建筑工地上用来砸实地面的“电动夯”工作时的情况：什么时候底座离开地面？什么时候砸向地面？为什么会出这样的结果？
第七节 离线现象及其应用
例1：一根长l?0.625m的细绳，一端拴一质量m?0.4kg的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周
运动，求：
（1）小球通过最高点时的最小速度？ （2）若小球以速度v如何运动．
分析与解答：
（1）小球通过圆周最高点时，受到的重力G?mg?3.0m/s通过周围最高点时，绳对小球的拉力多大？若此时绳突然断了，小球将
必须全部作为向心力F向，否则重力G中的多余部分
将把小球拉进圆内，而不能实现沿竖直圆周运动．所以小球通过圆周最高点的条件应为
F向?mg，当F向?mg时，即小球受到的重力刚好全部作为通过圆周最高点的向心力，绳
对小球恰好不施拉力，如图所示，此时小球的速度就是通过圆周最高点的最小速度v0，由向心力公式有：
mg?mv0l2
解得：
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