同济大学概率论与数理统计复习试卷

同济大学概率论与数理统计 复习试卷

1、对于任意二个随机事件A,B，其中P(A)?0,P(A)?1，则下列选项中必定成立的是( )

（A） P?BA??P?BA? 是A,B独立的充分必要条件； (B) P?BA??P?BA? 是A,B独立的充分条件非必要条件； (C) P?BA??P?BA? 是A,B独立的必要条件非充分条件； (D) P?BA??P?BA? 是A,B独立的既非充分条件也非必要条件.

2、 设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，现从中随机地取出一件，结果发现取到的这件不是三等品，在此条件下取到的这件产品是一等品的概率为 ，在此条件下取到的这件产品是二等品的概率为 .

3、 对任意常数a,b,(a?b)，已知随机变量X满足

P(X?a)??,P(X?b)??.

记p?P?a?X?b?,则下列选项中必定成立的是 ( ) (A)p?1?(???)； (B) p?1?(???)； (C) p?1?(???)； (D) p?1?(???).

4、 设随机变量X的概率密度为

?5x4,0?x?1f(x)??，则使得

?0,其它P(X?a)?P(X?a)成立的常数a? ，Y??2lnX的密度函数

为fY(y)? .

5、如果EX2??,EY2??,且X与Y满足D?X?Y??D?X?Y?,则必有 （ ）

?A?X与Y独立； ?B?X与Y不相关； ?C?D?Y??0；

?D?D?X?D?Y??0.

6、 设

X1,X2,Xn相互独立且服从相同的分布，

，则由切比雪夫不等式可得

1nE(X1)?1,D(X1)?3,X??Xini?11n2PX?1?1? ，?Xi依概率收敛于 .

ni?1??

7、 设

X1,X2?X5独立且服从相同的分布，

2?X1?X2?X3?X1~N?0,1?.Y?c.当常数c= 时,Y服从自由2?X4?X5?度为 的F分布.

8、一个男子在某城市的一条街道遭到背后袭击和抢劫，他断言凶犯是黑人。然而，当调查这一案件的警察在可比较的光照条件下多次重新展现现场情况时，发现受害者正确识别袭击者肤色的概率只有80%，假定凶犯是本地人，而在这个城市人口中90%是白人，10%是黑人，且假定白人和黑人的犯罪率相同，

（1）问：在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的凶犯确实是黑人的概率是多大？

（2）问：在这位男子断言凶犯是黑人的情况下，袭击他的凶犯是白人的概率是多大？

9、设随机变量(X1,X2)的联合概率函数为

X1X2 0 1 2 0 0.25 1 0.15 定义随机变量Z?max(X1,X2).

0.10 0.15 0.30 0.05 求(1)X1和X2的边缘概率函数； (2)Z的概率函数；

(3)(X1,Z)的联合概率函数； (4)E(Z)，

cov(X1,Z).)

D(Z)和

10、设随机变量(X,Y)的联合密度函数为 f(x,y)???2,0?x?y?1

?0,其它11(1)分别求X,Y的边缘密度函数； （2）求P?0?X???3??Y??;224?

(3)试问：X,Y是否相互独立？请说明理由. (4)求Z?X?Y的概率密度函数fZ?z?.