一. 复习要点
1. 掌握数列通项的求法。 2. 掌握数列求和的方法。 二. 典型例题
1. 求数列的通项的方法
求数列的通项的常用方法有观察法-归纳-证明法、公式法、阶差法、叠乘法、化归法、 待定系数法、特征方程法。
①.归纳-猜测-证明法
由题设条件求出数列的前几项，然后归纳出一般表达式，形成猜想，然后用数学归纳法加以证明，得出正确的结论，是一种重要的思维方法。
例1.已知数列?an?的前n项和Sn与通项an的关系是 Sn??ban?1?1 ，其中b是与n无关的常数，且b??1。 (1?b)n求出用n和b表示的an的关系式。 解析：首先由公式：an???Sn????n?1得：
?Sn?Sn?1?n?2b(1?b)2
bban?an?1?(n?2)n?1b?1(1?b)a1?b?b2b?b2?b3?a2?,a3?,??,34(1?b)(1?b)?猜测：an?b?b???b(1?b)n?12n
其次，用数学归纳法证明。证明略。
②.公式法
若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列?an?的通项an可用公式
?Sn????n?1 求解。 an??S?S?n?2n?1?n 例2. 设数列?an?的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系
3tSn?(2t?3)Sn?1?3t(t?0,n?2,3,4,?)
求证：数列?an?是等比数列。
解析：因为3tSn?(2t?3)Sn?1?3t(t?0,n?2,3,4,?)??(1) 所以3tSn?1?(2t?3)Sn?2?3t(t?0,n?2,3,4,?)??(2) (1)?(2)得：
3t（Sn?Sn?1)?(2t?3)(Sn?1?Sn?2)?0(t?0,n?2,3,4,?)a2t?3?3tan?(2t?3)an?1?0?n?(n?2,n?N)an?13t
所以，数列?an?是等比数列。 点评：公式的应用要灵活，如本例。 3.阶差法
例3.（本专题例1）已知数列?an?的前n项和Sn与an的关系是 Sn??ban?1?1 ，其中b是与n无关的常数，且b??1。 (1?b)n求出用n和b表示的an的关系式。 解析：首先由公式：an??a1??Sn????n?1得：
?Sn?Sn?1?n?2b(1?b)2
bban?an?1?(n?2)b?1(1?b)n?1bb2b2 ?an?1?()an?2?n?1b?1b?1(b?1)b2b3b3?()an?2?()an?3?b?1b?1(b?1)n?1 ????bn?2bn?1bn?1 ?()a2?()a1?n?1b?1b?1(b?1)?b??an????b?1?nn?1
b?b2?b3???bn?1a1?(b?1)n?12n?1?bb?b???b?(b?1)n?1(b?1)n?1
?n????b?1n?12n?b?b???b?2 ??an??n?1n?1b?b(1?b)??b?1n?1??(1?b)(1?b)点评：利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即 其和为n。 4.叠乘法
例4. 已知数列?an?中，a1?，前n项和Sn与an的关系是 Sn?n(2n?1)an ，试求通项公式an。 解析：首先由Sn?n(2n?1)an易求的递推公式： (2n?1)an?(2n?3)an?1,??an2n?3? an?12n?113an?12n?5a1????2? an?22n?1a15