考点50 不等式选讲
一、选择题
1.(2015·山东高考理科·T5)不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是 ( ) A.(-∞,4) C.(1,4)
B.(-∞,1)
D.(1,5)
【解题指南】可以分段讨论去掉绝对值符号,也可以利用绝对值的几何意义,还可以结合选择题的特点利用特殊值排除错误答案.
【解析】选A.方法一:当x<1时,原不等式化为1-x-(5-x)<2即-4<2,不等式恒成立;当1≤x<5时,原不等式即x-1-(5-x)<2,解得x<4;当x≥5时,原不等式化为x-1-(x-5)<2即4<2,显然不成立,综上可得不等式的解集为(-∞,4).
方法二:由绝对值的几何意义可得数轴上的点x到1,5两点(距离为4)的距离之差小于2的点满足x<4,所求不等式的解集为(-∞,4).
方法三:用排除法,令x=0符合题意,排除C,D;令x=2符合题意,排除B. 二、填空题
2.（2015·重庆高考理科·Ｔ16）若函数f(x)?x?1?2x?a的最小值为5，则实数a? _________.
【解题指南】首先根据a的值进行分类讨论，然后根据函数的单调性求解即可. 【解析】由题意知a??1（因为此时函数的最小值为0）
??3x?2a?1,x?a?当a??1时，f(x)?x?1?2x?a??x?2a?1,a?x??1，此时函数的最小值为
?3x?1?2a,x??1?f(a)??a?1?5，解得a??6
??3x?2a?1,x??1?f(x)?x?1?2x?a?a??1当时，??x?2a?1,?1?x?a，
?3x?1?2a,x?a?此时函数的最小值为
f(a)?a?1?5，解得a?4
综上可知a?4或a??6 答案：4 或?6
三、解答题
2n?2*xny?x?1在点(1，2)处n?N3.（2015·安徽高考理科·T18）设，是曲线
的切线与x轴交点的横坐标， （1）求数列
{xn}的通项公式；
x22n?1（2）记
Tn?xx2122，证明
Tn?14n.
【解题指南】（1）根据导数的几何意义求处曲线的切线方程。 （20正确得出数列的通项公式，合理进行放缩。
/2n?12n?2y?(2n?2)xy?x?1在点(1，2)处的切线斜率为【解析】（1），曲线
2n+2,
从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1),令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标
xn?1?1n?n?1n?1。
xn?n22n?1，所以Tn?x1x2x22n?1（2）因为
132n?12()2()2...()242n=，
当n=1时，
x2n?12T1?14；当n?2时，因为
2n?12(2n?1)2(2n?1)2?12n?2n?1?()???2n(2n)2(2n)22nn， =
1212n?11()?()??...??Tn?223n4n。 所以
Tn?14n。
综上可得对任意的n?N，均有
*2f(x)?x?ax?b. 4.（2015·安徽高考理科·T21）.设函数
（1）讨论函数出极值；
f(sinx)在(-??,)22内的单调性并判断有无极值，有极值时求
（2）记
f0(x)?x?ax0?b0,求函数f(sinx)f?(sin0)xa0?b0?0,求z?b?2在(-2,2)上的最大值D；
??（3）在（2）中，取
a2满足D?1时的最大值。4
【解题指南】利用导数的单调性及绝对值不等式的性质求解。 【解析】（1）f(sinx)?sinx?asinx?b=
[f(sinx)]?(2cosx?a)cosx，因为
/2sinx(sinx?a)?b,??2?x??2，
??2?x??2，所以cosx>0,-2<2sinx<2,
①当a??2,b?R时，函数⑵当a?2,b?R时，函数
f(sinx)在(-??,)22内的单调递增，无极值；
f(sinx)在(-??,)22内的单调递减，无极值；
③当?2?a?2时，在
(-??,??x?x0x02sinx?a22内存在唯一的，使得，2时，x0?x?)??2时，函数f(sinx)单调递增；
函数f(sinx)单调递减；
aa2f(sinx0)?f()=b-x0f(sinx)24。 因此，-2 （2）当 ??2?x??2时， = f(sinx)?f0(sinx)(a0?a)sinx?b?b0?a0?a|?|b?b0x?， ?2，等号成立； 当 (a0?a)(b?b0)?0时，取 当 (a0?a)(b?b0)?0时，取 x???2，等号成立。 由此可知 f(sinx)?f0(sinx)在 [-??,]22上的最大值为D=|a0?a|?|b?b0|。