2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷
数 学 (附加) 2016．11
B．(矩阵与变换)（本小题满分10分）
???1?已知二阶矩阵M有特征值??8及对应的一个特征向量e1???，并且矩阵M将点(?1,3)变换为
?1?(0,8)．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线x?3y?2?0在M的作用下的新曲线方程．
C．(极坐标与参数方程)（本小题满分10分）
?x?rcos??2已知平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为?(?为参数,r?0)．以直角坐标系原
y?rsin??2?点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2?sin(??π)?1?0．
4（1）求圆C的圆心的极坐标；
（2）当圆C与直线l有公共点时，求r的取值范围．
5
22．(本小题满分10分)
某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试，共设置了A、B、C三个测试项目．假定张某通过项目A的概率为立．
（1）用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数，求X的概率分布和数学期望E(X)（用a表示）；
（2）若张某通过一个项目的概率最大，求实数a的取值范围．
23．(本小题满分10分)
在如图所示的四棱锥S?ABCD中，SA?底面ABCD，?DAB??ABC?90?，SA?AB?BC?a，AD?3a(a?0)，E为线段BS上的一个动点．
1，通过项目B、C的概率均为a(0?a?1)，且这三个测试项目能否通过相互独2（1）证明：DE和SC不可能垂直；
（2）当点E为线段BS的三等分点（靠近B）时，求二面角S?CD?E的余弦值．
SEB
ACD
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2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷
数 学 参 考 答 案
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．{x|0≤x≤1} 2．?x?R,使x2?ax?1≥0 3．(?2,1] 4．2 5．7 6．9 7．?2 8．10．2 11．3 12．
?3 9．(?,0]
1410 13．(1,2] 14．a≥0 11二、解答题(本大题共6个小题，共90分) 15．(本题满分14分)
解：（1）函数f(x)?3x???3?x的定义域为R．
∵f(x)为奇函数，∴f(?x)?f(x)?0对?x?R恒成立，
即3???3?3???3?(??1)(3?3)?0对?x?R恒成立，
∴???1． ．．．．．．．．．．3分 此时f(x)?3x?3?x?1即(3x)2?3x?1?0，
?xxx?xx?x1+51?5或3x?(舍去)， ．．．．．．．．．．6分 221+5}． ．．．．．．．．．．7分 ∴解集为{x|x?log32解得3x?（2）由f(x)≤6得3x???3?x≤6，即3x?令t?3x?[1,9]，原问题等价于t?2?3x≤6，
?t≤6对t?[1,9]恒成立，
亦即?≤?t?6t对t?[1,9]恒成立， ．．．．．．．．．．．10分 令g(t)??t2?6t,t?[1,9]，
∵g(t)在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减，
∴当t?9时，g(t)有最小值g(9)??27，∴?≤?27． ．．．．．．．．．14分 16．(本题满分14分)
解：（1）∵a3?2是a2,a4的等差中项，∴2(a3?2)?a2?a4， ．．．．．．．．1分 代入a2?a3?a4?28，可得a3?8，
?a1?322?aq?8a?2???11∴a2?a4?20，∴?，解之得或?1， ．．．．．．．4分 ?3q?q?2????a1q?a1q?202??a1?2∵q?1，∴?，∴数列{an}的通项公式为an?2n． ．．．．．．．．．．6分
?q?2（2）∵bn?anlog1an?2nlog12n??n?2n， ．．．．．．．．．．7分
22∴Sn??(1?2?2?22???n?2n)， ……①
2Sn??(1?22?2?23???(n?1)?2n?n?2n?1)， ……②
②-①得Sn?2?22?23???2n?n?2n?1
2(1?2n)??n?2n?1?2n?1?2?n?2n?1． ．．．．．．．．．．12分
1?2
7
∵Sn?n?2n?1?62，∴2n?1?2?62，∴n?1?6，n?5， ．．．．．．．．．13分 ∴使S1n?n?2n??62成立的正整数n的最小值为6． ．．．．．．．．．．14分 17．(本题满分15分)
解：（1）f(x)?(sinx?3cosx)cosx?sinxcosx?3cos2x
?12sin2x?32cos2x?32?sin(2x??3)?32． ．．．．．．．．2分 由0≤x≤?32得，??4?3≤2x?3≤3，?2≤sin(2x??3)≤1，．．．．．．．4分 ∴0≤sin(2x??33)?2≤1?332，即函数f(x)的值域为[0,1?2]． ．．．6分 （2）由f(A)?sin(2A??3)?32?32得sin(2A??3)?0，
又由0?A??2，∴?3?2A??3?4?3，∴2A??3??，A??3． ．．．．．8分
在?ABC中，由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA=7，得a?7．．．．．．．10分 由正弦定理
absinA?sinB，得sinB?bsinAa?217， ．．．．．．12分 ∵b?a，∴B?A，∴cosB?277，
∴cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?1272?7?32?217?5714 ．．．．．15分
18．(本题满分15分)
解：（1）平行四边形ABCD的面积为S?2?1?ABCD2?1?2sin120??3，
当点F与点D重合时，S?1CE?CD?sin120?3?CFE2?4x，
∵S14，∴33?CFE?S?ABCD4x=4，x?1（百米），∴E是BC的中点． ．．．．3分 （2）①当点F在CD上时，
∵S1131?CFE?2CE?CF?sin1200?4S?ABCD?4，∴CF?x， ．．．．．．．．4分
在三角形CDE中，EF2?CE2?CF2?2CE?CF?cos1200，
∴y?x2?1x2?1≥3，当且仅当x?1时取等号， 此时E在BC中点处且F与D重合，符合题意； ．．．．．．．．．．．．．．8分 ②当点F在DA上时，
∵S(x?FD)梯形CEFD?2?32?14S3?ABCD?4，∴DF?1?x， ．．．．．．．．．．9分Ⅰ．当CE?DF时，过E作EG∥CD交DA于G，
在?EGF中，EG?1,GF?1?2x,?EGF?60?，由余弦定理得y?4x2?2x?1； Ⅱ．当CE≥DF，过E作EG∥CD交DA于G，
在?EGF中，EG?1,GF?2x?1,?EGF?120?，由余弦定理得y?4x2?2x?1；
由Ⅰ、Ⅱ可得y?4x2?2x?1?4(x?134)2?4， ．．．．．．．．．．．．13分
8