第九章 重积分
教学目的：
1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。
2、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。
3、掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。 4、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。 教学重点：
1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；
2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3、二、三重积分的几何应用及物理应用。 教学难点：
1、 利用极坐标计算二重积分； 2、 利用球坐标计算三重积分； 3、 物理应用中的引力问题。
§9? 1 二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念 1? 曲顶柱体的体积
设有一立体? 它的底是xOy面上的闭区域D? 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面? 它的顶是曲面z?f(x? y)? 这里f(x? y)?0且在D上连续? 这种立体叫做曲顶柱体? 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积?
首先? 用一组曲线网把D分成n个小区域：
?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?
分别以这些小闭区域的边界曲线为准线? 作母线平行于z轴的柱面? 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体? 在每个?? i中任取一点(? i ? ? i)? 以f (? i ? ? i)为 高而底为?? i的平顶柱体的体积为 ： f (? i ? ? i) ??i (i?1? 2? ? ? ? ? n )? 这个平顶柱体体积之和：V??f(?i,?i)??i?
i?1n可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值? 为求得曲顶柱体体积的精确值? 将分割加密? 只需取极限? 即 V?lim?f(?i,?i)??i?
??0i?1n其中?是个小区域的直径中的最大值? 2? 平面薄片的质量?
设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D? 它在点(x? y)处的面密度为?(x? y)? 这里?(x? y)?0且在D上连续? 现在要计算该薄片的质量M? 用一组曲线网把D分成n个小区域 ?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ? 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量? ?(? i ? ? i)?? i ? 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值? M???(?i,?i)??i?
i?1nn 将分割加细? 取极限? 得到平面薄片的质量M?lim??(?i,?i)??i?
??0i?1其中?是个小区域的直径中的最大值?
定义 设f(x? y)是有界闭区域D上的有界函数? 将闭区域D任意分成n个小闭区域
?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?
其中?? i表示第i个小区域? 也表示它的面积? 在每个?? i上任取一点(? i? ?i)? 作和
n?i?1f(?i,?i)??i?
如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋于零时? 这和的极限总存在? 则称此极限为函数f(x? y)在闭区域D上的二重积分? 记作??f(x,y)d?? 即
D??Df(x,y)d??lim??0i?1?f(?i,?i)??i?
nf(x? y)被积函数? f(x? y)d?被积表达式? d?面积元素? x? y积分变量? D积分区域? 积分和?
直角坐标系中的面积元素?
如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D? 那么除了包含边界点的一些小闭区域外? 其余的小闭区域都是矩形闭区域? 设矩形闭区域??i的边长为?xi和?yi? 则??i??xi?yi? 因此在直角坐标系中? 有时也把面积元素d? 记作dxdy? 而把二重积分记作
??Df(x,y)dxdy
其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素?
二重积分的存在性? 当f(x? y)在闭区域D上连续时? 积分和的极限是存在的? 也就是说函数f(x? y)在D上的二重积分必定存在? 我们总假定函数f(x? y)在闭区域D上连续? 所以f(x? y)在D上的二重积分都是存在的?
二重积分的几何意义? 如果f(x? y)?0? 被积函数f(x? y)可解释为曲顶柱体的在点(x? y)处的竖坐标? 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积? 如果f(x? y)是负的? 柱体就在xOy 面的下方? 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积? 但二重积分的值
是负的?
二? 二重积分的性质 性质1 设c1、c2为常数? 则
??[c1f(x,y)?c2g(x,y)]d?D?c1??f(x,y)d??c2??g(x,y)d?DD?
性质2如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域? 则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和? 例如D分为两个闭区域D1与D2? 则
??Df(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??
D1D2 性质3
??1?d????d???(?为D的面积)?
DD 性质4 如果在D上? f(x? y)?g(x? y)? 则有不等式
??Df(x,y)d????g(x,y)d?D?
特殊地
|??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d??
DD 性质5 设M、m分别是f(x? y)在闭区域D上的最大值和最小值? ?为D的面积? 则有
m????Df(x,y)d??M??
性质6(二重积分的中值定理) 设函数f(x? y)在闭区域D上连续? ? 为D的面积? 则在D上至少存在一点(?? ?)使得
??Df(x,y)d??f(?,?)??
§9? 2 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 X??型区域?
D ? ?1(x)?y??2(x)? a?x?b ? Y ??型区域?
D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ? 混合型区域?
设f(x? y)?0? D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}?
此时二重积分??f(x,y)d?在几何上表示以曲面z?f(x? y)为顶? 以区域D为底的
D曲顶柱体的体积?
对于x0?[a? b]? 曲顶柱体在x?x0的截面面积为以区间[?1(x0)? ?2(x0)]为底、以曲线z?f(x0? y)为曲边的曲边梯形? 所以这截面的面积为
A(x0)???2(x0)?1(x0)f(x0,y)dy?
根据平行截面面积为已知的立体体积的方法? 得曲顶柱体体积为
V??A(x)dx??[?aabb?2(x)?1(x)f(x,y)dy]dx?
即 V???f(x,y)d???[?Dab?2(x)?1(x)f(x,y)dy]dx?
可记为
??Df(x,y)d???dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy?
类似地? 如果区域D为Y ??型区域?
D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?
则有
??Df(x,y)d???dy?cd?2(y)?1(y)f(x,y)dx?