洛必达法则的简便证明（以x?x0?为例）
柯西中值定理可用于证明洛必达法则和泰勒公式.
0?型，型）若函数f和g满足条件 0?0?1）lim?f(x)?lim?g(x)?0（是说极限为型不定式）（型中的1）lim?g(x)??）
x?x0x?x0x?x00?f?(x)f?(x)?A（A为实数或??，?）2）lim?（是说在x0的某邻域U?(x0)内，有意义，
x?x0g?(x)g?(x)定理（
且有确定的趋势），则
x?x0lim?f(x)?A. g(x)证明 1.A有限 故???0，?U?(x0)， ?x?U?(x0)， A???f?(x)?A?? ?g(x)所以，?x?,x?U?(x0) 且x0?x??x，由柯西中值定理，使 ???(x?,x)?U?(x0)， f(x)?f(x?)f?(?)A???g(x)?g(x?)?g?(?)?A?? ?型 ?分子分母同除以g(x?)，即 f(x)f(x?)??g(x)g(x?)令x??x0?，由保号性， A????A??. g(x)?1f(x)A???lim?A???)g(xx?x0?g(x)?令x??x0，由lim?g(x?)??及保号性， 由实数a?b的?语言形式x??x0的定义， f(x?)A???lim?A?? f(x)??x?xg(x?)0lim?A. x?x0?g(x)由a?b的?语言形式的定义， f(x?)f(x)lim??A，即 lim??A. x??x0g(x?)x?x0g(x)0型 0因为?G?0,?U?(x0)，?x?U?(x0)， f?(x)??知f?(x)?0，否则，从lim?f?(x)x?x0g?(x)||?G. ?g(x)f?(x)lim?0，与假设矛盾. 所以，?x?,x?U?(x0)且x0?x??x，由x?x0?g?(x)柯西中值定理， ???(x?,x)?U?(x0)，由无穷小与无穷大的关系， g?(x)使得 lim??0. 2.x?x0f?(x)f(x)?f(x?)f?(?)|?|?G. A?? 从而化为已证的A有限的情形， g(x)?g(x?)g?(?)g(x)?0，故由无穷小与无穷大分子分母同除以g(x?)，有 有lim?x?x0f(x)f(x)f(x?)f(x)f(x?)?||?||的关系， ?)g(x?)?)?)g(xg(xg(xf(x)G?||?. ???A. lim?g(x)g(x)x?x0g(x)?1|?1|g(x?)g(x?) 得
f(x?)g(x)f(x)|?G?|?1|?||. g(x?)g(x?)g(x?)g(x)1??1|?1(?)及保因x??x0， |g(x?)2g(x)1?1|?； 号性， |g(x?)2f(x)?|?0,及定义，因x??x0， ???0，g(x?)f(x)|??. |g(x?)f(x?)1|?G??， 于是 |g(x?)21f(x?)|??. 即 G?|?2g(x)由实数a?b的?语言形式的定义， f(x?)1||?G. g(x?)2f(x?)???A，即 故lim?x??x0g(x?)f(x)???A. lim?x?x0g(x)|
注 同时满足定理的几个条件才可适用. 1）只有断言lim?x?x0f?(x)?A时（A为实数或??，?），洛必达法则才能使用.否则，无法使用. ?g(x)x2sin例如limx?0112xsinx?0. x，limf?(x)不存在，无法使用定理作判断，其实，limx?0g?(x)x?0xx2）可以在求一个极限时，多次使用.
3）及时化简.如约分，或及时分离出存在极限的因子，以免因求导引起解析式更繁琐.如
limx??2secx. tanx