(完整版)六年级奥数-第七讲.行程问题(一).教师版

某列车的车长为:20×25-250=500-250=250(米),

两列车的错车时间为:(250+150)÷(20+20)=400÷40=10(秒)。

【例 12】 李云靠窗坐在一列时速 60千米的火车里,看到一辆有 30节车厢的货车迎面驶来,当货车车

头经过窗口时,他开始计时,直到最后一节车厢驶过窗口时,所计的时间是18秒.已知货车车厢长15.8米,车厢间距1.2 米,货车车头长10米.问货车行驶的速度是多少?

【解析】 本题中从货车车头经过窗口开始计算到货车最后一节车厢驶过窗口,相当于一个相遇问题,总路程

为货车的车长.货车总长为: (15.8× 30+ 1.2× 30 +10) ÷1000 =0.52 (千米), 火车行进的距离为:60×18/3600=0.3 (千米), 货车行进的距离为: 0.52- 0.3 =0.22(千米), 货车的速度为:0.22÷18/3600=44 (千米/时).

【例 13】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上,有一行人与骑车人同时向南行进,行人速度为3.6千米/时,

骑车人速度为10.8千米/时,这时有一列火车从他们背后开过来,火车通过行人用22秒,通过骑车人用26秒,这列火车的车身总长是多少? 【解析】 行人的速度为3.6千米/时=1米/秒,骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既等于

火车车尾与行人的路程差,也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒,那么火车的车身长度可表示为(x-1)×22或(x-3)×26,由此不难列出方程。

法一:设这列火车的速度是x米/秒,依题意列方程,得(x-1)×22=(x-3)×26。 解得x=14。所以火车的车身长为:(14-1)×22=286(米)。

法二:直接设火车的车长是x, 那么等量关系就在于火车的速度上。可得:x/26+3=x/22+1 这样直接也可以x=286米

法三:既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决。

两次的追及时间比是:22:26=11:13,所以可得:(V车-1):(V车-3)=13:11, 可得V车=14米/秒,所以火车的车长是(14-1)×22=286(米)

【例 14】 一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去,铁路旁一条小路上,一位工人也

正向北步行。14时10分时火车追上这位工人,15秒后离开。14时16分迎面遇到一个向南走的学生,12秒后离开这个学生。问:工人与学生将在何时相遇?

【解析】 工人速度是每小时30-0.11/(15/3600)=3.6千米

学生速度是每小时(0.11/12/3600)-30=3千米

14时16分到两人相遇需要时间(30-3.6)*6/60/(3.6+3)=0.4(小时)=24分钟 14时16分+24分=14时40分

【例 15】 同方向行驶的火车,快车每秒行30米,慢车每秒行22米。如果从辆车头对齐开始算,则行24秒

后快车超过慢车,如果从辆车尾对齐开始算,则行28秒后快车超过慢车。快车长多少米,满车长多少米? 【解析】 快车每秒行30米,慢车每秒行22米。如果从辆车头对齐开始算,则行24秒后快车超过慢车,每秒

快8米,24秒快出来的就是快车的车长192m,如果从辆车尾对齐开始算,则行28秒后快车超过慢车那么看来这个慢车比快车车长,长多少呢?长得就是快车这4秒内比慢车多跑的路程啊 4×8=32,所以慢车224.

【例 16】 两列火车相向而行,甲车每小时行36千米,乙车每小时行54千米.两车错车时,甲车上一乘客发

现:从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒,求乙车的车长. 【解析】 首先应统一单位:甲车的速度是每秒钟36000÷3600=10(米),乙车的速度是每秒钟54000÷3600

=15(米).此题中甲车上的乘客实际上是以甲车的速度在和乙车相遇。更具体的说是和乙车的车尾相遇。路程和就是乙车的车长。这样理解后其实就是一个简单的相遇问题。(10+15)×14=350(米),所以乙车的车长为350米.

【例 17】 在双轨铁道上,速度为54千米/小时的货车10时到达铁桥,10时1分24秒完全通过铁桥,后来一列

速度为72千米/小时的列车,10时12分到达铁桥,10时12分53秒完全通过铁桥,10时48分56秒列车完全超过在前面行使的货车.求货车、列车和铁桥的长度各是多少米? 【解析】 先统一单位:54千米/小时?15米/秒,72千米/小时?20米/秒,

1分24秒?84秒,48分56秒?12分?36分56秒?2216秒.

货车的过桥路程等于货车与铁桥的长度之和,为:15?84?1260(米); 列车的过桥路程等于列车与铁桥的长度之和,为:20?53?1060(米).

考虑列车与货车的追及问题,货车10时到达铁桥,列车10时12分到达铁桥,在列车到达铁桥时,货车已向前行进了12分钟(720秒),从这一刻开始列车开始追赶货车,经过2216秒的时间完全超过货车,这一过程中追及的路程为货车12分钟走的路程加上列车的车长,所以列车的长度为

?20?15??2216?15?720?280(米),那么铁桥的长度为1060?280?780(米),货车的长度为

1260?780?480(米).

【例 18】 一条单线铁路上有A,B,C,D,E 5个车站,它们之间的路程如图所示(单位:千米).两列火车同时从

A,E两站相对开出,从A站开出的每小时行60千米,从E站开出的每小时行50千米.由于单线铁路上只有车站才铺有停车的轨道,要使对面开来的列车通过,必须在车站停车,才能让开行车轨道.因此,应安排哪个站相遇,才能使停车等候的时间最短.先到这一站的那一列火车至少需要停车多少分钟? 【解析】

A

225千米

25千米 15千米 B

C

D

230千米

E

两列火车同时从A,E两站相对开出,假设途中都不停.可求出两车相遇的地点,从而知道应在哪一个车站停车等待时间最短.

从图中可知,AE的距离是:225+25+15+230=495(千米) 两车相遇所用的时间是:495÷(60+50)=4.5(小时) 相遇处距A站的距离是:60×4.5=270(千米) 而A,D两站的距离为:225+25+15=265(千米)

由于270千米>265千米,从A站开出的火车应安排在D站相遇,才能使停车等待的时间最短. 因为相遇处离D站距离为270-265=5(千米),那么,先到达D站的火车至少需要等待:2:1(小时) ,x小时=11分钟

模块三 流水行船

【例 19】 乙船顺水航行2小时,行了120千米,返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路,用了3小

时.甲船返回原地比去时多用了几小时? 【解析】 乙船顺水速度:120÷2=60(千米/小时).乙船逆水速度:120÷4=30(千米/小时)。水流速度:(60-30)

÷2=15(千米/小时).甲船顺水速度:12O÷3=4O(千米/小时)。甲船逆水速度:40-2×15=10(千米/小时).甲船逆水航行时间:120÷10=12(小时)。甲船返回原地比去时多用时间:12-3=9(小时).

【例 20】 船往返于相距180千米的两港之间,顺水而下需用10小时,逆水而上需用15小时。由于暴雨后水

速增加,该船顺水而行只需9小时,那么逆水而行需要几小时? 【解析】 本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影响,水速发生

变化,要求船逆水而行要几小时,必须要先求出水速增加后的逆水速度. 船在静水中的速度是:(180÷10+180÷15)÷2=15(千米/小时). 暴雨前水流的速度是:(180÷10-180÷15)÷2=3(千米/小时). 暴雨后水流的速度是:180÷9-15=5(千米/小时).

暴雨后船逆水而上需用的时间为:180÷(15-5)=18(小时).

【例 21】 (2009年“学而思杯”六年级)甲、乙两艘游艇,静水中甲艇每小时行

1千米,乙艇每小时行54千12米.现在甲、乙两游艇于同一时刻相向出发,甲艇从下游上行,乙艇从相距27千米的上游下行,两艇于途中相遇后,又经过4小时,甲艇到达乙艇的出发地.水流速度是每小时 千米.

【解析】 两游艇相向而行时,速度和等于它们在静水中的速度和,所以它们从出发到相遇所用的时间为10小

时.

相遇后又经过4小时,甲艇到达乙艇的出发地,说明甲艇逆水行驶27千米需要10小时,那么甲艇的

逆水速度为1(千米/小时),则水流速度为24(千米/小时). 【例 22】 一艘轮船顺流航行 120 千米,逆流航行 80 千米共用 16 时;顺流航行 60 千米,逆流航行 120 千

米也用 16 时。求水流的速度。 【解析】 两次航行都用 16 时,而第一次比第二次顺流多行 60 千米,逆流少行 40 千米,这表明顺流行60

千米与逆流行 40 千米所用的时间相等,即顺流速度是逆流速度的 1.5 倍。将第一次航行看成是 16 时顺流航行了 120+80×1.5=240(千米),由此得到顺流速度为 240÷16=15(千米/时),逆流速度为15÷1.5=10(千米/时),最后求出水流速度为(15-10)÷2=2.5(千米/时)。

【例 23】 一条河上有甲、乙两个码头,甲在乙的上游 50 千米处。客船和货船分别从甲、乙两码头出发向

上游行驶,两船的静水速度相同且始终保持不变。客船出发时有一物品从船上落入水中,10 分钟后此物距客船 5 千米。客船在行驶 20 千米后折向下游追赶此物,追上时恰好和货船相遇。求水流的速度。

【解析】 5÷1/6=30(千米/小时),所以两处的静水速度均为每小时 30 千米。 50÷30=5/3(小时),所以货船与

物品相遇需要5/3小时,即两船经过5/3小时候相遇。 由于两船静水速度相同,所以客船行驶 20 千米后两船仍相距 50 千米。 50÷(30+30)=5/6(小时),所以客船调头后经过5/6小时两船相遇。 30-20÷(5/3-5/6)=6(千米/小时),所以水流的速度是每小时 6 千米。

【例 24】 江上有甲、乙两码头,相距 15 千米,甲码头在乙码头的上游,一艘货船和一艘游船同时从甲码

头和乙码头出发向下游行驶,5 小时后货船追上游船。又行驶了 1 小时,货船上有一物品落入江中(该物品可以浮在水面上),6 分钟后货船上的人发现了,便掉转船头去找,找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米? 【解析】 此题可以分为几个阶段来考虑。第一个阶段是一个追及问题。在货舱追上游船的过程中,两者的追

及距离是 15 千米,共用了 5 小时,故两者的速度差是 15÷5=3 千米。由于两者都是顺水航行,故在静水中两者的速度差也是 3 千米。在紧接着的 1 个小时中,货船开始领先游船,两者最后相距 3×1=3千米。这时货船上的东西落入水中,6 分钟后货船上的人才发现。此时货船离落在水中的东西的距离已经是货船的静水速度×1/10 千米,从此时算起,到货船和落入水中的物体相遇,又是一个相遇问题,两者的速度之和刚好等于货船的静水速度,所以这段时间是货船的静水速度*1/10÷货船的静水速度=1/10小时。按题意,此时也刚好遇上追上来的游船。货船开始回追物体时,货船和游船刚好相距3+3*1/10=33/10 千米,两者到相遇共用了 1/10 小时,帮两者的速度和是每小时 33/10÷1/10=33 千米,这与它们两在静水中的速度和相等。(解释一下)又已知在静水中货船比游船每小时快 3 千米,故游船的速度为每小时(33-3)÷2=15 千米。

【例 25】 (2008年三帆中学考题)一艘船往返于甲、乙两港之间,已知船在静水中的速度为每小时9千米,

平时逆行与顺行所用的时间比是2:1.一天因下暴雨,水流速度为原来的2倍,这艘船往返共用10小时,问:甲、乙两港相距 千米. 【解析】 设平时水流速度为x千米/时,则平时顺水速度为?9?x?千米/时,平时逆水速度为?9?x?千米/时,

由于平时顺行所用时间是逆行所用时间的一半,所以平时顺水速度是平时逆水速度的2倍,所以9?x?2?9?x?,解得x?3,即平时水流速度为3千米/时.

暴雨天水流速度为6千米/时,暴雨天顺水速度为15千米/时,暴雨天逆水速度为3千米/时,暴雨

11天顺水速度为逆水速度的5倍,那么顺行时间为逆行时间的,故顺行时间为往返总时间的,为

6515510??小时,甲、乙两港的距离为15??25(千米).

633

【例 26】 一条小河流过A,B, C三镇.A,B两镇之间有汽船来往,汽船在静水中的速度为每小时11千米.B,C

两镇之间有木船摆渡,木船在静水中的速度为每小时3.5千米.已知A,C两镇水路相距50千米,水流速度为每小时1.5千米.某人从A镇上船顺流而下到B镇,吃午饭用去1小时,接着乘木船又顺流而下到C镇,共用8小时.那么A,B两镇间的距离是多少千米? 【解析】 如下画出示意图

有A?B段顺水的速度为11+1.5=12.5千米/小时,有B?C段顺水的速度为3.5+1.5=5千米/小时.而

x50?x从A?C全程的行驶时间为8-1=7小时.设AB长x千米,有??7,解得x=25.所以A,B12.55两镇间的距离是25千米.

【例 27】 河水是流动的,在 B 点处流入静止的湖中,一游泳者在河中顺流从 A点到 B 点,然后穿过湖到

C点,共用 3 小时;若他由 C 到 B 再到 A,共需 6 小时.如果湖水也是流动的,速度等于河水速度,从 B 流向 C ,那么,这名游泳者从 A到 B 再到 C 只需 2.5小时;问在这样的条件下,他由C 到 B再到 A,共需多少小时? 【解析】 设人在静水中的速度为 x,水速为 y ,人在静水中从 B 点游到 C 点需要 t 小时.

2根据题意,有 6x?(6?t)y?3x?(3?t)y ,即x?(3?t)y,同样,有 2.5x?2.5y?3x?(3?t)y ,

3116665即x?(2t?1)y;所以,,即 50?(1?)?54,所以 54;(12?10)?60?54?65 (小

121211111111时),所以在这样的条件下,他由 C 到 B 再到 A共需 7.5 小时.

模块四 时钟问题

【例 28】 现在是10点,再过多长时间,时针与分针将第一次在一条直线上? 【解析】 时针的速度是 360÷12÷60=0.5(度/分),分针的速度是 360÷60=6(度/分)

即 分针与时针的速度差是 6-0.5=5.5(度/分),10点时,分针与时针的夹角是60度, 第一次在一条直线时,分针与时针的夹角是180度,

即 分针与时针从60度到180度经过的时间为所求。所以 答案为 12(分)

【例 29】 有一座时钟现在显示10时整.那么,经过多少分钟,分针与时针第一次重合;再经过多少分钟,

分针与时针第二次重合? 【解析】

在lO点时,时针所在位置为刻度10,分针所在位置为刻度12;当两针重合时,分针必须追上50个小刻度,设分针速度为“l”,有时针速度为“所以,再过54

116”,于是需要时间:50?(1?)?54. 1212116分钟,时针与分针将第一次重合.第二次重合时显然为12点整,所以再经过1165?65分钟,时针与分针第二次重合. 1111(12?10)?60?54标准的时钟,每隔655分钟,时针与分针重合一次. 我们来熟悉一下常见钟表(机械)的构成:一般11时钟的表盘大刻度有12个,即为小时数;小刻度有60个,即为分钟数.

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4