第六章 线性空间 (1)

第六章 线性空间

§1基本知识

§1. 1 基本概念

1、集合的相关概念: 2、映射: 3、单射: 4、满射:

5、双射(一一映射): 6、可逆映射及其逆映射: 7、线性空间:

8、向量的线性组合: 9、向量组的等价:

10、向量的线性相关与无关:

11、线性空间的维数(有限维与无限维线性空间): 12、线性空间的基与坐标: 13、过渡矩阵:

14、线性空间的子空间: 15、生成子空间: 16、子空间的和:

17、两个子空间的直和: 18、有限个子空间的直和: 19、线性空间的同构:

§1. 2 基本定理

1、基与维数的判定定理:设?1,?2,?,?n是线性空间V上n个线性无关的向量,如果V上任何一个向量都可以由它线性表出,那么V是n维的,?1,?2,?,?n是它的一组基.

2、子空间的判定定理:设W是线性空间V的一个非空子集,如果W关于V的两种运算是封闭的,那么W是V的一个子空间. 3、生成子空间的相等与维数的判定定理:

(1)两个向量组生成相同的子空间的充分必要条件是这两个向量组等价; (2)dimL(?1,?2,?,?r)?R(?1,?2,?,?r).

4、基的扩充定理:设?1,?2,?,?m是n维线性空间V上任意m个线性无关的向量,如果m?n,那么在V上必定可以找到n?m个向量?m?11,?m?2,?,?n,使得

?1,?2,?,?n是V的一组基.

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5、子空间的交的性质定理:设V1,V2都是线性空间V的子空间,那么V1?V2也是V的子空间.

6、子空间的和的性质定理:设V1,V2都是线性空间V的子空间,那么V1?V2也是

V的子空间.

7、维数定理:设V1,V2都是线性空间V的子空间,那么

dim(V1?V2)?dimV1?dimV2?dim(V1?V2).

推论:设V1,V2都是线性空间V的子空间,如果dim(V1?V2)?dimV1?dimV2,那么V1?V2??0?.

8、直和的判定定理:设V1,V2都是线性空间V的子空间,那么如下条件是等价的 (1)V1?V2是直和;

(2)若?1??2?0,?1?V1,?2?V2,则?1??2?0;

(3)V1?V2??0?;

(4)dim(V1?V2)?dimV1?dimV2

9、直和的判定定理续:设V1,V2,?,Vm都是线性空间V的子空间,那么如下条件是等价的

(1)V1?V2???Vm是直和;

(2)若?1??2????m?0,?i?Vi,i?1,2,?,m,则?1??2????m?0;

(3)Vi??V??0?,i?1,2,?,m;

jj?imi?1(4)dim(V1?V2??Vm)??dimVi

10、直和的存在性定理:设W是线性空间V的任何一个子空间,那么一定存在V的一个子空间U,使得V?U?W. 11、有限维线性空间同构的判定定理:

(1)数域P任何一个n维线性空间都同构于Pn;

(2)有限维线性空间同构的充分必要条件是,它们的维数相等. §1. 3 基本性质

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1、线性空间的性质: (1)零元素是唯一的; (2)负元素是唯一的; (3)0??0;k0?0;(?1)????; (4)k??0?k?0或??0. 2、过渡矩阵的性质:

(1)过渡矩阵都是可逆矩阵;

(2)设基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵是A,则基?1,?2,?,?n到基

?1,?2,?,?n的过渡矩阵是A?1;

(3)设基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵是A,?1,?2,?,?n到基

?1,?2,?,?n的过渡矩阵是B,则基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵是

AB.

(4)设基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵是A,向量?在基

?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n下的坐标分别是(x1,x2,?,xn)和(y1,y2,?,yn),则

?x1????x2????????x??n??y1????y?A?2?. ????y??n?3、子空间的交与和的性质:设V1,V2都是线性空间V的子空间,则如下条件等价 (1)V1?V2; (2)V1?V2?V1; (3)V1?V2?V2;

4、同构映射的性质:设?是线性空间V到线性空间W的同构映射,则 (1)?(0)?0;?(??)???(?);

(2)?(k1?1?k2?2???km?m)?k1?(?1)?k2?(?2)???km?(?m); (3)?1,?2,?,?m线性相关??(?1),?(?2),?,?(?m)线性相关; (4)同构映射的逆映射??1是线性空间W到线性空间V的同构映射; (5)若?是线性空间W到线性空间U的同构映射,则??是线性空间V到线性空间U的同构映射.

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