第六章 线性空间
§1基本知识
§1. 1 基本概念
1、集合的相关概念： 2、映射： 3、单射： 4、满射：
5、双射（一一映射）： 6、可逆映射及其逆映射： 7、线性空间：
8、向量的线性组合： 9、向量组的等价：
10、向量的线性相关与无关：
11、线性空间的维数（有限维与无限维线性空间）： 12、线性空间的基与坐标： 13、过渡矩阵：
14、线性空间的子空间： 15、生成子空间： 16、子空间的和：
17、两个子空间的直和： 18、有限个子空间的直和： 19、线性空间的同构：
§1. 2 基本定理
1、基与维数的判定定理：设?1,?2,?,?n是线性空间V上n个线性无关的向量，如果V上任何一个向量都可以由它线性表出，那么V是n维的，?1,?2,?,?n是它的一组基.
2、子空间的判定定理：设W是线性空间V的一个非空子集，如果W关于V的两种运算是封闭的，那么W是V的一个子空间. 3、生成子空间的相等与维数的判定定理：
（1）两个向量组生成相同的子空间的充分必要条件是这两个向量组等价； （2）dimL(?1,?2,?,?r)?R(?1,?2,?,?r).
4、基的扩充定理：设?1,?2,?,?m是n维线性空间V上任意m个线性无关的向量，如果m?n，那么在V上必定可以找到n?m个向量?m?11,?m?2,?,?n，使得
?1,?2,?,?n是V的一组基.
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5、子空间的交的性质定理：设V1,V2都是线性空间V的子空间，那么V1?V2也是V的子空间.
6、子空间的和的性质定理：设V1,V2都是线性空间V的子空间，那么V1?V2也是
V的子空间.
7、维数定理：设V1,V2都是线性空间V的子空间，那么
dim(V1?V2)?dimV1?dimV2?dim(V1?V2).
推论：设V1,V2都是线性空间V的子空间，如果dim(V1?V2)?dimV1?dimV2，那么V1?V2??0?.
8、直和的判定定理：设V1,V2都是线性空间V的子空间，那么如下条件是等价的 （1）V1?V2是直和；
（2）若?1??2?0,?1?V1,?2?V2，则?1??2?0；
（3）V1?V2??0?；
（4）dim(V1?V2)?dimV1?dimV2
9、直和的判定定理续：设V1,V2,?,Vm都是线性空间V的子空间，那么如下条件是等价的
（1）V1?V2???Vm是直和；
（2）若?1??2????m?0,?i?Vi,i?1,2,?,m，则?1??2????m?0；
（3）Vi??V??0?,i?1,2,?,m；
jj?imi?1（4）dim(V1?V2??Vm)??dimVi
10、直和的存在性定理：设W是线性空间V的任何一个子空间，那么一定存在V的一个子空间U，使得V?U?W. 11、有限维线性空间同构的判定定理：
（1）数域P任何一个n维线性空间都同构于Pn；
（2）有限维线性空间同构的充分必要条件是，它们的维数相等. §1. 3 基本性质
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1、线性空间的性质： （1）零元素是唯一的； （2）负元素是唯一的； （3）0??0;k0?0;(?1)????； （4）k??0?k?0或??0. 2、过渡矩阵的性质：
（1）过渡矩阵都是可逆矩阵；
（2）设基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵是A，则基?1,?2,?,?n到基
?1,?2,?,?n的过渡矩阵是A?1；
（3）设基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵是A，?1,?2,?,?n到基
?1,?2,?,?n的过渡矩阵是B，则基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵是
AB.
（4）设基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵是A，向量?在基
?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n下的坐标分别是(x1,x2,?,xn)和(y1,y2,?,yn)，则
?x1????x2????????x??n??y1????y?A?2?. ????y??n?3、子空间的交与和的性质：设V1,V2都是线性空间V的子空间，则如下条件等价 （1）V1?V2； （2）V1?V2?V1； （3）V1?V2?V2；
4、同构映射的性质：设?是线性空间V到线性空间W的同构映射，则 （1）?(0)?0；?(??)???(?)；
（2）?(k1?1?k2?2???km?m)?k1?(?1)?k2?(?2)???km?(?m)； （3）?1,?2,?,?m线性相关??(?1),?(?2),?,?(?m)线性相关； （4）同构映射的逆映射??1是线性空间W到线性空间V的同构映射； （5）若?是线性空间W到线性空间U的同构映射，则??是线性空间V到线性空间U的同构映射.
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