武汉大学数学与统计学院2009-2010年第一学期《高等数学.

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2009—2010第一学期《高等数学A1》期末考试试题 A卷

一、(42分)试解下列各题:

1、计算2、求解微分方程3、计算4、计算

.

的通解。 .

.

5、求曲线

自至一段弧的长度。

6、设,求

.

确定,

二、(8分)已知,其中由方程

.

,

,试证明数列

收敛,并求

三、(8分)设

.

四、(15分)已知函数1、函数

,求:

的单调增加、单调减少区间,极大、极小值;

2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。

五、(12分)已知函数

满足微分方程,

且轴为曲线在原点相切,在曲线()上某点处作一切线,使之与曲线、轴所围平面图形的面积为,试求:(1)曲线的方程;(2)切点的坐标;(3)由上述所围图形绕轴旋转一周所得立体的体积。

六、(10分)设

在上连续,在内可导,且

,证明:

(1)存在,使;

,使

.

,求证:

(2)对任意实数,必存在七、(5分)设函数

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满足下列两个等式:.

2009—2010第一学期《高等数学A1》期末考试试题参考答案 A卷

一、 (42分)试解下列各题:

1、解:原极限=

2、解:齐次方程的特征方程为,它有复数根

,故原方程的通解为:

3、解:原式=4、解:

5、解:6、解:

二、(8分)解:

,方程两边微分得:

故有

三、(8分)解:, ,因此

设,则

单调增加,且,故存在

设,则: 解得 .因为非负, ∴

四、(15分)解:定义域为 令驻点 ,不可导点

1) 故单调增加区间为:

,单调减少区间为:

极小值为:

,无极大值。

2)下凸区间为: ,无拐点,由,故为函数图形的铅直渐近线。

为函数图形的斜渐近线。

五、(12分)解:(1)由观察法知曲线方程为:或解微分方程:特征方程为以微分方程的特解设为故

为微分方程的通解,又

,即曲线方程为:

,故对应齐次方程的通解为

,从而有:,由题设知

,由于

,所,,所以微

分方程满足初值条件的解为

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