武汉大学数学与统计学院
2009—2010第一学期《高等数学A1》期末考试试题 A卷
一、（42分）试解下列各题：
1、计算2、求解微分方程3、计算4、计算
.
的通解。 .
.
5、求曲线
自至一段弧的长度。
6、设，求
.
确定，
二、（8分）已知，其中由方程
求
.
,
，试证明数列
收敛，并求
三、（8分）设
.
四、（15分）已知函数1、函数
，求：
的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；
2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。
五、（12分）已知函数
满足微分方程，
且轴为曲线在原点相切，在曲线（）上某点处作一切线，使之与曲线、轴所围平面图形的面积为，试求：（1）曲线的方程；（2）切点的坐标；（3）由上述所围图形绕轴旋转一周所得立体的体积。
六、（10分）设
在上连续，在内可导，且
，证明：
（1）存在，使;
，使
.
，求证：
（2）对任意实数，必存在七、（5分）设函数
，
武汉大学数学与统计学院
满足下列两个等式：.
2009—2010第一学期《高等数学A1》期末考试试题参考答案 A卷
一、 （42分）试解下列各题：
1、解：原极限=
2、解：齐次方程的特征方程为，它有复数根
，故原方程的通解为：
3、解：原式=4、解：
5、解：6、解：
二、（8分）解：
，方程两边微分得：
故有
三、（8分）解：, ，因此
设，则
单调增加，且,故存在
设，则: 解得 .因为非负， ∴
四、（15分）解：定义域为 令驻点 ，不可导点
1） 故单调增加区间为：
，单调减少区间为：
极小值为：
，无极大值。
2）下凸区间为： ，无拐点，由，故为函数图形的铅直渐近线。
又
故
为函数图形的斜渐近线。
五、（12分）解：（1）由观察法知曲线方程为：或解微分方程：特征方程为以微分方程的特解设为故
为微分方程的通解，又
，即曲线方程为：
，故对应齐次方程的通解为
，从而有：，由题设知
，由于
，所，，所以微
分方程满足初值条件的解为