专题训练(二) 线段垂直平分线和角平分线的相关证明
1．已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C.
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90 °.
??DE＝DF，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，?
?BD＝CD，?
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)．
∴∠B＝∠C.
2．如图，已知：OA平分∠BAC，∠1＝∠2.求证：△ABC是等腰三角形．
证明：过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则△BOD和△COE都是直角三角形． ∵OA平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OD＝OE. ∵∠1＝∠2， ∴OB＝OC.
∴Rt△BOD≌Rt△COE(HL)． ∴∠ABO＝∠ACO. ∴∠ABC＝∠ACB. ∴AB＝AC.
∴△ABC是等腰三角形．
3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE＝AC.
(1)求证：DE＝DB；
(2)连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由． 解：(1)证明：∵∠ACB＝90 °，∠ABC＝30 °， ∴∠CAB＝180 °－∠ACB－∠ABC＝60 °. ∵AD平分∠CAB，
1
∴∠DAB＝∠CAB＝30 °＝∠ABC.
2
∴DA＝DB.
∵CE＝AC，BC⊥AE，∴BC是线段AE的垂直平分线． ∴DE＝DA.∴DE＝DB.
(2)△ABE是等边三角形．理由如下： ∵BC是线段AE的垂直平分线， ∴BA＝BE，即△ABE是等腰三角形．
又∵∠CAB＝60 °，∴△ABE是等边三角形．
4．如图，已知△ABE，AB，AE边上的垂直平分线m1，m2交BE分别为点C，D，且BC＝CD＝DE.
(1)求证：△ACD是等边三角形； (2)求∠BAE的度数．
解：(1)证明：∵m1、m2分别为AB、AE边上的垂直平分线， ∴AC＝BC，AD＝DE. ∵BC＝CD＝DE， ∴AC＝AD＝CD.
∴△ACD是等边三角形． (2)∵△ACD是等边三角形，
∴∠CAD＝∠ACD＝∠ADC＝60 °. ∵AC＝BC，AD＝DE，
∴∠ABC＝∠BAC，∠DEA＝∠DAE.
111
∴∠BAC＝∠ACD∠EAD＝∠ADC×60 °＝30 °.
222
∴∠BAE＝∠BAC＋∠CAD＋∠EAD＝30 °＋60 °＋30 °＝120 °.